Vízügyi Közlemények, 1984 (66. évfolyam)

3. füzet - Rövidebb tanulmányok, közlemények, beszámolók

492 Reimann József Legyen X

2 a második negyedévben a túllépések száma ugyanazon с szintre és P(X

2 = k) = k\ A Poisson-eloszlású X változó generátorfüggvénye: 00 J* 00 Сл-(х) = X = е"

я £ „ = = (4

) fc = 0 л! к = 0 Az ill. X

2 változó generátorfüggvénye tehát: G

x,(x) = е

я,(х_1

), G

X

2(x)=e

Aî(jt_1

). Mivel független valószínűségi változók (diszkrét nem negatív egész értékű változók) összegének generátorfüggvénye a generátorfüggvényeik szorzatával egyenlő: G

x,+X

2(X) = e

Al(x_I

) • е

Я2<л;_1

) = е

(*

1+Л2)(х-1

), (5) ami а Я = A

t+A

2 paraméterű Poisson-eloszlás generátorfüggvénye, tehát: P(X

1 + X

2 = n) = + + Ч (6) и! 3. A túllépések függetlenségének vizsgálata Jelölje az X valószínűségi változó egy túllépés nagyságát (a tetőzési érték mínusz c) adott folyó adott vízmércéjén valamely alkalmasan választott [0, 7] időintervallumban. Az ^valószínűségi változóról feltesszük, hogy folytonos eloszlású F(x) eloszlásfüggvénnyel, f(x) sűrűségfüggvénnyel. Zelenhasic azt találta, hogy bizonyos észak-amerikai folyók esetében az X változó exponenciális eloszlást, más folyók esetében kétparaméteres gamma eloszlást követ. Valamely valószínűségi változó eloszlásának tapasztalati meghatározásánál kiinduló eljárás, hogy az illető változóra lehetőleg nagy számú megfigyelést végzünk, statisztikai mintát veszünk. Legyenek ezek a megfigyelések X

t, X

2,..., X

n. Ilyen megfigyeléssorozatot akkor tekintünk statisztikai mintának, ha a mintaelemek független, egyforma eloszlású valószínűségi változók. A függetlenség ellenőrzésére az ún. véletlenségvizsgálati módszerek szolgálnak, amelyek közül általánosan elfogadott a Wald-Wolfowitz-próba, amely lényegében a szériális korreláción alapul. Ez a próba tehát a mintaelemek függetlenségét és reprezentativitását egyidejűleg ellenőrzi. Ha pusztán a mintaelemek függetlenségét kívánjuk ellenőrizni, akkor egyéb statisztikai módszerek is rendelkezésre állnak, amelyek numerikus elvégzése kevesebb munkát igényel. A mintaelemek sztochasztikus függetlensége lényegében azt jelenti, hogy az X

t túllépés numerikus értéke nincs befolyással más megfigyelt Xj túllépés numerikus értékére, vagyis az X

t értékének alakulását befolyásoló hatások nem befolyásolják lényegesen Xj értékét, X

i kicsiny értékéhez X

} kicsiny és nagy értéke egyaránt egyforma gyakorisággal bekövetkezhet. Az X

t változó értéke egy vonatkozásban numerikusan jellemzi az árhullám kialakulásában szerepet játszó fizikai tényezők hatását. Ugyanez a helyzet más Xj változók értékével. A statisztikai függetlenség tehát a fizikai tényezők hatásának függetlenségét tükrözi vissza, ha jól van definiálva.