Vízügyi Közlemények, 1983 (65. évfolyam)
3. füzet - Kovács György: Az árvizek előfordulási valószínűsége számításánek kérdései
330 Kovács György 2.4. A túllépések mértékének és számának együttes számításba vétele Az (1) egyenlet a meghatározott mértékű túllépés valószínűségét az összes vizsgált ilyen esemény számához viszonyítva adja meg, a (3) egyenlet pedig az egy évet jellemző intervallumon belül előforduló túllépések számának valószínűségéről tájékoztat. Számunkra viszont az adott túllépésnek az évek számához viszonyított valószínűsége szükséges - amit az évi maximumokból alkotott halmaz közvetlenül szolgáltat - mert ennek reciprokaként számíthatjuk az árhullám várható visszatérési idejét. A két összefüggés összekapcsolásának a Todorovic-Zelenhasic (1970) által adott alapgondolata az volt, hogy a H(X<x) valószínűség a T R visszatérési időnek és a X évi átlagos túllépések számának szorzatával hozható kapcsolatba, ha az azonos intervallumon belül észlelhető események számának alakulása Poisson-folyamat: H(X< jc) = 1 — j}p-. (4) Cunnane (1979) kétségbe vonja a Poisson-eloszlás alkalmazhatóságát. Húsz angliai vízgyűjtő 26 szelvényének adataiból számította az évi túllépések számának középértékét és szórását. Öt különböző küszöbszintet vizsgált, az elsőt olyan magasra választva, hogy az évi túllépések átlaga egy legyen, majd fokozatosan süllyesztve a szintet, ezt az átlagot ötig növelte. Az utolsó esetben a relatív szórás átlaga 2,02 volt és ez 1,38-ig csökkent, ahogy az átlagos túllépések száma l-re csökkent (a Poisson-eloszlásnak ez a jellemzője az egység). Az eredeti adatsorok hiányában nem ellenőrizhettük, hogy az évi túllépési számok helyett csak évszakokat vizsgálva milyen mértékben közeledik ez a paraméter az egységhez. Az említett eltérés ellenére úgy véljük, hogy a túllépések számának közelítő becslésére elfogadhatjuk a (2), illetőleg a (3) egyenletet, hiszen Cunnane (1979) sem talált jobb összefüggést. A visszatérési időt, illetőleg az évi előfordulás valószínűségét a Poissonfolyamat feltételezése nélkül is számíthatjuk a (4) egyenlet felhasználásával, amint ezt ugyancsak Cunnane (1979) igazolta. Ezért akár elfogadjuk, akár elvetjük a Poissoneloszlás alkalmazhatóságát, egy szélsőséges esemény T R visszatérési idejét, illetőleg ennek reciprokaként az esemény bekövetkezésének éves valószínűségét az (1) és a (4) egyenletek kombinációjaként a következő összefüggésből számíthatjuk: G é v(X> x) =1 = X [1 - H(X< x)] = X exp( - ßjt). (5) г Reimann (1975) ugyanennek az eseménynek a valószínűségét más úton kísérelte meg számíthatóvá tenni. Növekedő sorrendbe rendezte a [0,í] intervallumban észlelt v számú túllépést, kialakítva az X x, X 2,..., X v sort. X t = sup{jc b лг 2,--jelöli а с szint fölötti legnagyobb túllépést azokban az intervallumokban, ahol egyáltalán lokális maximum alakult ki a küszöbszint fölött (tehát azzal a feltétellel, hogy v > 0). Annak az eseménynek F(x) feltételes valószínűsége, hogy ezekben az említett intervallumokban az X, legnagyobb túllépés kisebb mint egy felvett x érték a következő összefüggéssel adható meg: 00 I {\H{x)f . Р(м = k)} P(X,<x |v>0) = ^ (6) ahol H(x) - az X, változó valószínűsége a teljes adatsor alapján, (1) egyenlet; P(v) - pedig a túllépések számának valószínűsége az intervallumokon belül, (3) egyenlet. A két említett egyenletet helyettesítve a (6) egyenletbe annak az eseménynek a valószínűségét
