Vízügyi Közlemények, 1971 (53. évfolyam)
4. füzet - Stelczer Károly: Görgetett hordalék mozgásának jellemzése a valószínűségelmélet módszerével
350 Stelczer Károly Az is bizonyítható [9], hogy a Poisson-eloszlást közvetlenül is megkaphatjuk, mint a bomlások számának pontos valószínűségi eloszlását, ha feltevéseinket úgy választjuk, hogy a t kicsiny a felezési időhöz képest. Azonban három alapfeltételnek teljesülni kell: 1. Ha akkor — hogy a (í 1 ; 4) időintervallumban n bomlás történik — az E n(t v U) esemény független az Eic(t v t 3) eseménytől, azaz attól, hogy a (L, f 3) intervallumban k bomlás történjék. 2. Az E n(.tu t?) események (n —0, 1, 2 —) teljes rendszert alkotnak és £ n(í 1 ; f 2) valószínűsége adott n mellett csak t 2-ti = '-tői függ. 3. Annak a valószínűsége, hogy t hosszúságú időtartam alatt egynél több bomlás történik, határértékben elhanyagolható annak valószínűségéhez képest, hogy pontosan egy bomlás történik ugyanazon idő alatt. E feltételek mellett, ha A n(0, t) jelenti azt az eseményt, melynél a (0, t) időtartam alatt pontosan n atom bomlik el a vizsgált radioaktív anyagból, úgy az A n(0, t) események valószínűségi Poisson-eloszlást alkotnak. A görgetett hordalék mozgására vonatkozó radioaktív természetbeni viszgálatok [10] bizonyították, hogy a mozgásra fordított idő az állásidőhöz képest nagyon rövid, és hogy a szakaszos mozgás során az egy-egy lépésben megtett utak hossza aránylag kicsiny. A laboratóriumi mérések adatainak feldolgozása alapján kézenfekvőnek tűnik, hogy az egyes lépések közötti időtartamok egymástól és a T időintervallumoktól független valószínűségi változók. Tehát a radioaktív anyagok bomlására vonatkozó 1. feltevés a görgetett hordalék mozgásánál is megengedett. A 2. feltétel a görgetett hordalékmozgás folyamatánál is fennáll, hiszen az E n(t v t 2) esemény — amely azt jelenti, hogy a (t v t 2) időintervallumban a vizsgált szemcse éppen n lépést tett meg — valószínűsége adott n mellett csak ^ — ty — ttől függ. Képletben: P{E n(t v t 2)]=P n(t) (8) A 3. feltétel limi^MU PÁt) alakban írva azt fejezi ki, hogy annak a valószínűsége, hogy egy igen rövid időtartam alatt a vizsgált szemcse pontosan egy lépést tesz meg, közelítőleg egyenlő annak a valószínűségével, hogy a szóban forgó szemcse — ezen rövid időtartam alatt — legalább egy lépést tesz meg. Könnyen belátható, hogy a görgetett hordalék mozgásának folyamatánál is a P 0(t) f-nek monoton csökkenő függvénye, mert az idő múlásával egyre kisebb annak a valószínűsége, hogy a tekintett szemcse nyugalomban marad, továbbá hogy P„(0) = 0 ha n = l,2 ... és P 0(0) = 1 (9) (Ugyanis 0 időtartam alatt a vizsgált szemcse egy lépést sem tehet meg.) A fenti tételekből azonnal következik, hogy P 0(t-s)=P 0(t)P 0(s) (10) A (10) függvényegyenletet nyertük az ismeretlen függvényre, amelynek alapján azután a P 0(t), illetve a P n(t) ismert módon meghatározható.
