Vízügyi Közlemények, 1957 (39. évfolyam)

3. füzet - III. Csecskedi Géza: Rugalmas ágyazású tartók és csuklós láncolatok. Csőzsilipek, darupályák és más folytonosan felfekvő szerkezetek hosszirányú méretezése

Rugalmas ágijazásu tartók 269 Ismert mechanikai alapegyenletekből kifolyóan d-g (IM d*M (Ili M = - E

J w ' R

= „, ' ^г ^ ,/, - - 9 - S

('

y M értékét az utolsó egyenlőségbe behelyettesítve, az EJ = const megszorítással 4' d'g /4 pj EJ h scy = q. Bevezetve az L = I - J jelölést, a t/x

4 ' sc r<l'U ... 4? , , 4.'/ = — (2) dx sc Winkler-téle (18(57) differenciálegyenlet áll előttünk. Ennek az egyenletnek a megoldása adja a süllyedések értékeit, amelyekből :> dg d-ц d

3g p = cg- lg y = JS ; M = - EJ ; R = — EJ -«.г ах

2 ах

8 egyenlőségek kapcsán a talajfeszültségre, érintőre, nyomatékra és az eredőre lehel következtetni. Az egyenletnek más felírása is szokásos, pl. az X d'g 4 9(f) - =( jelöléssel: s~ +4g= - (3) L u£

4 sc alakot ölt. A A. = l.L viszonyszámtól függ, hogy az alaptest rugalmas-e, vagy merev. (X = 0 esetben merev alai)testtel van dolgunk: J = »). A Winkler-féle differenciálegyenlet ún. hiányos 'negyedfokú állandó együtthatójú, lineáris, inhomogén differenciálegyenlet. Megoldásai, különböző terhelések esetére kidolgozva, a szakkönyvekben megtalálhatók. Általában azonban nem mutatnak rá a megoldás egyenes matematikai útjára, s így az olvasók sok esetben nincsenek tájékozva arról, hogy a korrekt út milyen nehézségeket rejt magában, miért kell a problémákat konkrét esetben így vagy úgy megoldani, s miért jó általában megkerülni. Itt most éppen ezt fogjuk megtárgyalni, s a szakkönyvekben fellelhető megoldásokra nem is terjeszkedünk ki. Az inhomogén differenciálegyenlet megoldásának az a módja, hogy először megoldjuk az egyenlethez rendelhető homogén egyenletet, vagyis (a másodiknak felírt alakot nézve) esetünkben a á'ijo ——

h 4 г/о ; 0 egyenletet. dê A homogén egyenlet megoldását. y

0 = e*t alakú megoldás feltételezésével szoktuk d'ijn kiszamítani, ekkor ugyanis —— = x

4 c'-, és ezeket behelyettesítve kapjuk a rffe'

4 X* e"

: + I e'i, vagy az — I = 0 karakterisztikus egyenletet. Ennek négy komplex gyöke segítségével lehet felírni a homogén egyenlet általános megoldását : '44 г/о - г,- e'

<,

: C, j/0( (f », ahol a c,-k a határfeltételektől függő állandók; íi ; -1 //o,-ket a homogén egyenlet partikuláris megoldásának nevezzük. Az inhomogén egyenlet általános megoldása: az inhomogén differenciálegyenlet egyik partikuláris megoldása és a homogén egyenlet általános megoldásának összege: 4 U - 111 + i/o = í/i + 2 Ci Но i =1 Természetesen előbb meg kell határozni az inhomogén egyenlet valamely partikuláris megoldását. Ilyen partikuláris megoldásra úgy juthatunk, ha alkalmazzuk Lagrange nyomán az állandók variálásának módszerét.