Vízügyi Közlemények, 1937 (19. évfolyam)

1. szám - vitéz Filep Lajos: Egyenlő gömbökből álló halmazok

143. A lassan ülepedő gömböcskékből álló, de természetesen nem egyenletes halmazokról nem állítható, hogy azok szemcséi között nem fordulnak elő ötszomszédos, vagy akár négyszomszédos gömbök is. De ilyenek is csak ritkán keletkeznek, különösen ritkán fordulnak elő négyszomszédosak. Altalánosságban tehát kimondható, hogy ha az ülepedés lassan történik a szemek között számbavehető tapadó erő nincsen és az ülepedő szemek egyenlő nagyságú gömböcskék, a leülepedő halmazok hézagtérfogata a [3, 0, 3] jelképpel jellemezhető halmazok sűrűségének megfelelően 47-64% és 25-95% között fog változni. Megváltozik a helyzet, lia az ülepedés gyorsan történik. Ha a szemek oly sűrűn követik egymást, hogy köztük esetleg még egy szem-átmérőnyi távolság sem marad. Ez olyankor fordul elő, ha az ülepedés nagyon sűrű közegből történik, vagy ha éppen földomlásról van szó, azaz, ha egyenlő szemekből álló kohézió nélküli halmaz megbomlik és azért omlásnak indul. Ekkor az egymás után érkező szemek közvetlenül egymásután jönnek. Ilyen esetekben az egyes szemeknek nincsen ideje arra, hogy az alul lévők már megállapodott szemek közé helyezkedjenek, alulról mindegyik megkeresse három szomszédját. Ilyenkor a szemek legnagyobb része elhelyezkedése, leülepedése közben elakad és nehéz volna megmondani, négy, avagy öt szomszédja lesz-e inkább. Annyi bizonyos, ha a szemcsék gömböcskék, minden szem legalább is négy szomszédú lesz. A hatszomszédos gömböcskéket pedig különleges fekvésű gömböknek kell tekintenünk, melyek az ilyen halmazban csak gyéren fordulnak elő. Vizsgáljuk meg, melyik tárgyalt négy- és ötszomszédos halmaz gömbjei fekszenek úgy, hogy hozzájuk hasonló fekvésű gömbök, gyorsan ülepedett, nem egyenletes halmazok gömbjei között gyakran fordulhatnak elő. Kétségtelenül ilyen a [2, 0, 2], jelképpel jellemezhető egyenletes halmaz. Ebben az esetekben a gömböcskét egy másik gömb idejekorán való érkezése megfosztott attól, hogy lefelé reá nehezedjék harmadik szomszédjára, felülről pedig hasonló okokból nem kapott harmadik szomszédot. Ehhez hasonlóak az [1, 0,3] egyenletes halmazok is. Ha az ülepedés nem túlságosan gyors, nagyon sok olyan gömböcske lesz, melynek például lefelé meg van három szomszédja, de felfelé már csak kettő van. Ekkor a gömböcskék helyzete a [2, 0, 3] egyenletes halmaz gömbjeihez hasonlít, Ezekben a halmazokban a gömbök fekvésének valami különleges sajátossága nincsen. Nem úgy van ez, az ezeknél ritkább négy-, illetve ötszomszédos halmazokban. Az [1, 0, 4] fekvésű gömb helyzetében különlegesség, hogy négy szomszédjának középpontja egy síkba esik. A többi, ritkább halmaz esetében pedig arról van szó, hogy túlságosan sok gömb vesz körül egy-egy hézagot, A IV., V., VIII. és IX. alapidomokból láthatjuk, hogy egy-egy hézag körülvételére nyolc gömb is szükséges, holott a többi halmaz esetében 4, 5 vagy 6 is elégséges. Azt a jelenséget, hogy több golyó vesz részt valamely hézag körülkerítésében, véletlenek halmozódásának kell tekintenünk, így tehát a valószínű előfordulása az ilyen sok gömb alkotta hézagoknak a golyók számával csökken. A gyors ülepedés alkalmával keletkező halmazokban olyan részek tehát, mint amilyenek az [1, 1, 2], [1, 2, 2]k

} [2, 1, 2], [1, 1, 3] halmazok, igen ritkán fordulhatnak elő és így az egész halmaz sűrűségét nem befolyásolhatják. Most megérthetjük, miért nem vettünk figyelembe olyan eseteket, amelyek nem egyenletes, egyenlő gömbökből álló halmazokban elgondolhatok volnának. Elgondolható volna például, hogy p számú gömböcske egy igen nagy, kupolaszerű üreget zár körül. Ez esetben p igen nagy pozitív egész számot jelent,