Vízügyi Közlemények, 1937 (19. évfolyam)

1. szám - vitéz Filep Lajos: Egyenlő gömbökből álló halmazok

144. Ha például, öt gömböcske már egymás mellett van, bizonyos, hogy ezek mellett hézag is lesz. Annak a valószínűségét, hogy még egy további gömböcske részt vesz a hézag körülkerítésében, azaz megalkotásában, legyen ß. Természetesen 0<C ß <C1. Ez esetben annak a valószínűsége, hogy ilyen p számú gömböcske alkotta kupola létrejöhessen, ß

p'

5 volna. Láthatjuk, hogy ilyen gyéren keletkező üregek a halmazok sűrűségére befolyást nem gyakorolhatnak. Minthogy az általános, nem egyenletes, gyors ülepedésű halmaz szemei között nagyvalószínűséggel sok olyan szem fordul elő, melynek fekvése a [2, 0, 2] egyenletes halmaz gömbjeinek elhelyezkedéséhez hasonló, az ilyen gyors ülepedésű halmazok sűrűsége azok közé a határok közé esik, amely határok között a [2, 0, 2] egyenletes halmaz sűrűsége változhatik. Ezek a határok a sűrűségre nézve 0-34 és 0-74 : a hézagtérfogatra nézve pedig 66% és 26%. Ha végül feltételezzük, hogy az ülepedés tapadó erők működése közben jött létre és a tapadó erők valamely vízben oldódó, a szemek felületére elhelyezkedő ragadós anyag okozta, úgy a leülepedett halmazban az előbbi esetnél is gyakrabban fordulnak elő az alacsony szomszédszámú szemek, de ezek között már háromszomszédosak is lesznek. Ha a talajvíz a már leülepedett rétegből kimossa, kioldja a ragadós kötőanyagot, a négyszomszédosnál kisebb szomszédszámú szemek elmozdulnak, a réteg összetömörödik, megülepedik, míg csak csupán négy, vagy annál is magasabb szomszédszámú gömb marad benne. A hézagtérfogat eközben a négyszomszédos egyenletes halmaz legnagyobb 66%-nyi hézagtérfogata alá fog sülyedni. Ezért tehát kimondhatjuk, ha valamely halmaz, vagy talaj hézagtérfogata a 66%-ot meghaladja, úgy ezt a tapadó erők hatásául kell tekintenünk, tehát az ilyen talajokban tapadó erő feltétlenül működik. Ugyanezt állítani azokról a halmazokról nem lehet, melyeknek a hézagtérfogata csupán a 47%-ot haladja meg, de 66%-nál kisebb. Ha valamely talaj hézagtérfogata a 26%-ot sem éri el : azt csupán a különböző nagyságú szemösszetételnek lehet tulajdonítani. A Magyarországon oly gyakran előforduló folyóshomokok természetét könnyen megérthetjük, ha feltételezzük, hogy ezek aprószemű és közelítőleg egyenlő és nagyjában gömbalakú szemekből álló halmazok. A szemek között nincsen tapadóerő és viszonylag sok az alacsony szomszédszámú szemcse. Az ilyen alacsony szomszédszámú szemek mozdulnak ki legkönnyebben a helyükről, ha a talajt megrázkódtatjuk, vagy ha gödröt ásunk és ennek hatására a talajvíz nagyobb mérvű áramlása megindul.