Vízügyi Közlemények, 1937 (19. évfolyam)
1. szám - vitéz Filep Lajos: Egyenlő gömbökből álló halmazok
142. egyenletes halmazok tulajdonságaira. Azért azt kell megvizsgálnunk, hogy az ismertetett halmazok melyikének gömbjei fekszenek úgy, hogy ehhez hasonló gömbök a nem egyenletes halmazok gömbjei között elég gyakorisággal fordulnak elő. A gyakran előforduló fekvésű és szomszédszámú gömbök mennyisége befolyásolja a nem egyenletes halmaz sűrűségét. Vizsgáljuk meg ezért, miféle módon keletkezhetnek a természetben előforduló halmazok. Vizsgáljuk meg, hogyan folyhatik le az a jelenség, melyet ülepedésnek nevezünk. Az egyszerűség kedvéért feltételezzük, hogy az ülepedő szemek egyenlő nagyságú gömböcskék. Vessünk egy pillantást egy ilyen ülepedésre, mikor az már bizonyos mértékig előre haladt. Mindenesetre azt találjuk, hogy a vízfenéken, a fenékrétegen, azon a rétegen, amely már elkészült, már egynéhány szem szerteszét szórva fekszik. A legfelső rétegben, amely még nem készült el, a szemek között még különféle nagyságú helyek üresen vannak, ahová a később ülepedő szemek, gömböcskék elhelyezkedhetnek. Ha most érkezik egy új szemcse, az megütközhetik valamely, a legfelsőbb rétegben fekvő szem tetején, de ha a szemek egyenként érkeznek, azaz az ülepedés lassan történik, a szemcse tetejéről lefordul. Reá esik a már teljesen elkészült réteg szemeire. Ha a szemcsék egyenlő nagyságú golyócskák, úgy három alatta lévőre fog reá támaszkodni. Minthogy feltételezzük egyelőre, hogy az ülepedés annyira ritka közegből és azért olyan lassan történik, hogy a szemek mindig egyenként érkeznek és van idejük, hogy a legfelső még készen nem lévő réteg szemeiről lefordulva kitöltsék a mélyebben fekvő lyukakat : a már elkészült rétegek gömböcskéi előbb vagy utóbb megkapják felfelé is mindhárom szomszédjukat. Az ilyen lassan ülepedő egyenlő gömböcskékből álló halmaz egyes szemeinek fekvését általánosságban a [3, 0, 3] jelkép fejezi ki. A halmaz nem egyenletes ugyan, de a legtöbb szem fekvése olyan mint a [3, 0, 3] jelképpel jellemezhető halmazok szemeinek fekvése. Kivételesen megeshetik, hogy valamely szemnek több szomszédja van mint hat. Ez olyankor fordulhat elő, ha a szem alatti már készült réteg valamely helyén négy gömböcske derékszögű négyszögalakban helyezkedett volna el, akkor az ilyen helyre ülepedő szemnek lefelé négy szomszédja lesz. De, hogy ugyanennek a szemnek felfelé is négy szomszédja legyen, azt már a véletlenek halmozódásául kell tekintenünk. Jelöljük a-val annak a valószínűségét, hogy valamely gömböcske szomszédszáma eggyel magasabb lesz, mint általánosságban lennie kellene. Ekkor « azt fejezi ki, hogy az összes lehetséges esetek hányadrészében következik be a szomszédszám megnövekedése : tehát « valódi tört és 0 <C « < 1. A véletlenek halmozódásából tudjuk, hogy két véletlen esemény együttes bekövetkezésének valószínűsége annyi, mint a két véletlen esemény valószínűségének szorzata. Ezt a tételt a mi esetünkre alkalmazva, azt kapjuk : Ha hétszomszédos és annál magasabb szomszédszámú gömbök előfordulásának valószínűsége « nyolcszomszédos és annál is magasabb szomszádszámú gömbök előfordulásának valószínűsége a 2. n szomszédos és annál magasabb szomszédszámú gömbök előfordulásának valószínűsége a n~ 6. Minthogy a valódi tört, az a"' 6 érték csakis igen kicsi lehet és így az ülepedés folytán előálló halmazokban a magasabb szomszédszámú gömbök csak ritkán fordulhatnak elő és a halmaz természetére igen kevés befolyást gyakorolhatnak.
