Vízügyi Közlemények, 1937 (19. évfolyam)

1. szám - vitéz Filep Lajos: Egyenlő gömbökből álló halmazok

133. a halmazhoz tartozó gömb hány más gömböt érint. Ezt röviden így mondhatjuk : a halmaz f-\-k-\-a szomszédos halmaz. Hogy a leírt származtatási módot és a származtatási jelkép jelentőségét jobban megérthessük, szemléljük meg a 2. és 3. ábrákat. A 2. ábrán az I. képsík baloldali részén a vastag vonallal kihúzott körök egy föntebb leírt réteget ábrázolnak a rétegbe tartozó gömbökkel. Az alapidom ez esetben az eredmény vonallal feltüntetett négyzet, melynek egyik oldala 2r, vagyis a halmaz gömbjeinek átmérője. A gömbök középpontjai ez esetben az alapidom sarokpontjaira jutnak. Közvetlenül az ábrát megszemlélvén látjuk, hogy ilyen négyzet alapidommal az egész síkot maradék nélkül kitölthetjük. Ebben a halmazban minden gömb 4 olyan gömböt érint, melyek ugyanazon réteghez tartoznak. Tehát k=4. A rétegek egymás alatt feküsznek és az I. képsíkban láthatjuk, hogy a különböző rétegekhez tartozó alapidomok, a négyzetek egymáshoz képest párhuzamosan tolódnak el. A II. képsíkból láthatjuk, hogy az első réteg középsíkja mellé a második és a harmadik réteg középsíkját egyaránt т

л=т

г = г\2 távolságban helyeztük el úgy, hogy minden gömb, mely a középső réteghez tartozik, négy darab felső rétegbeli gömböt és négy alsó rétegbeli gömböt érint. Tehát f=a=4. Ezért a 2-ik ábrán feltüntetett halmaz származtatási jelképe [4, 4, 4]. Ez a halmaz egyenletes. Könnyen meggyőződhetünk arról, hogy valóban minden gömb helyzete a szomszédjaihoz viszonyítva azonos, azonkívül arról is, hogy ez a halmaz összenyomhatatlan. На а IV. képsíkból fejlesztjük ezt a halmazt, úgy alapidomul az ott eredményvonallal feltüntetett szabályos hatszöget választhatjuk. A hatszög középpontjára és sarokpontjaira jutnak ez esetben a gömbök középpontjai. A hatszög oldalhosszúsága 2r. A rétegek ez esetben is egyenlő távolságban feküsznek egymástól és így Mindezt a 2. ábrán feltüntetett II. és IV. képsíkokról leolvashatjuk. Ha a halmazt ezen az utóbb ismertetett módon fejlesztjük k=6 ; a=j=3: és a halmaz származtatási jelképe [3, 6, 3]. Tehát [4, 4, 4] ^ (3, 6, 3). Ami azt jelenti, hogy a két jelkép szerint fejlesztett halmaz azonos. Ebben a halmazban minden gömbnek 12 szomszédja van : ezért ezt a halmazt tizenkétszomszédos halmaznak fogjuk nevezni. Vegyük szemügyre most a 3. ábrát. Itt egy négyszomszédos halmazt látunk, melynek rétegei az I. képsíkkal párhuzamosak. Az alapidom az eredményvonallal kirajzolt szabályos hatszög, melynek minden második sarokpontjára jut gömb. A szabályos hatszöget úgy választottuk meg, hogy minden oldala egyenlő és kisebb 2r-nél. A hatszög valamennyi átlója nagyobb 2r-nél. Az ilyen hatszögekkel maradék nélkül síkot tölthetünk ki. Ha egy síkra helyezett ilyen hatszögek minden második sarokpontjára gömböt helyezek, a halmaz egyik rétegét kapom. Egy ilyen rétegben feküsznek a 3. ábra I. és II. képsíkjain feltüntetett 1., 2., 3., és 4. számú gömbök. Ezek a gömbök nem érintik egymást. Ebben a halmazban tehát a gömbök nem érintenek olyan gömböt, mely ugyanahhoz a réteghez tartozik. Vagyis к=0. E réteg alá a második réteget úgy helyezem el, hogy az új rétegből minden gömb három előző rétegbeli gömböt érintsen. Természetesen ekkor az előző rétegbeli gömbök is három gömböt érintenek az új rétegből. Tehát a=3. Az új rétegből a 3. ábrán az 5., 6., 7. és 8. szánni gömbök láthatók. A harmadik