Vízügyi Közlemények, 1937 (19. évfolyam)

1. szám - vitéz Filep Lajos: Egyenlő gömbökből álló halmazok

130. A következőkben csaknem kizárólag az összenyomhatatlan halmazokat fogjuk vizsgálni. Természetes, hogy ezeknek is különböző lehet még a sűrűségük, mert hiszen a szemek között még hézagok vannak. A hézagok nagysága pedig egyik elrendeződés mellett több, a másik mellett kevesebb lehet. Arra való tekintettel, hogy a következő tisztán geometriai elgondolásokban az anyag súlyára nem leszünk tekintettel, sürüség-en azt a törtet értjük, melynek számlálója a gömbök köbtartalmának összege, nevezője pedig a gömbök és a közöttük levő hézagok térfogatának összege. A sűrűséget a következőkben s-el jelölöm. A gyakorlatban szeretnek a hézagtérfogattal számolni, amit rendesen százalékokban fejeznek ki. Ezek szerint a hézagtérfogat — 100(1—S)%. Ha valamely anyagnak a sűrűsége mindenhol ugyanaz, vagyis nincsenek benne sűrűbb és ritkább helyek, az ilyen anyagot egyenletesnek (homogénnek) tartjuk. Ennek a hasonlatosságára megalkothatjuk az egyenlő gömbökből álló egyenletes halmaz fogalmát is. Egyenletes sűrűségűnek az olyan egyenlő gömbökből álló halmazt kell tekintenünk, amelyben minden gömb környezetében a halmaz sűrűsége ugyanaz. Ezt olymódon fejezhetjük ki, ha definícióképen kimondjuk : Egyenlő gömbökből álló egyenletes halmaznak azt nevezzük, amelyikben valamennyi gömbszem az érintő szomszédjaihoz viszonyítva azonos (kongruens) elhelyezkedésű. Az ilyen egyenletes halmazokat fogjuk megvizsgálni, a természetükből levont tanulságokat általánosítások útján igyekszünk majd a többi halmazra nézve is alkalmazni. Ha kiválasztok egy bizonyos elrendeződésű, összenyomhatatlan, egyenlő gömbökből álló egyenletes gömbhalmazt, megeshetik, hogy a halmazból nem lehetséges egymásra merőleges síkokkal olyan részt kimetszeni, hogy a halmaz körülhatárolt része e merőleges síkok alkotta hasábot kitöltve, a síkok egy gömböt se messenek. Ebből az következik, ha egy a élhosszúságú kockát egyenletes és összenyomhatatlan gömbhalmazzal töltök meg, megeshetik, hogy az oldallapok mellett nagyobb hézagok maradnak, mint a halmaz belsejében (lásd 1. ábra). Ezért a kockába férő gömbök köbtartalma elosztva a kocka térfogatával, kisebb lesz, mint az ugyanilyen elrendeződésű határtalan halmaz sűrűsége. Vizsgáljuk, hogy a sűrűségbeli külömbség mekkora értéket tehet ki, illetve mekkora értéken nem mehet túl. A kockának hat oldallapja van. Egy ilyen odallap területe a

2. A halmaz gömbjeinek átmérőjénél, d-nél kisebb az oldallapok mentén megnövekedett hézagok vastagsága, különben egész gömbök férnének még oda. Ezért a hézagok növekményének térfogata kisebb mint 6a4 Ha ezt a térfogatot viszonyba állítjuk a kocka a

3 térfogatával, úgy megkapjuk a к sűrűségbeli különbség felső határát. 1. ábra. Gömbökkel megtöltött kocka keresztmetszete. Profil d'un cube rempli des sphères.