Vízügyi Közlemények, 1937 (19. évfolyam)
1. szám - vitéz Filep Lajos: Egyenlő gömbökből álló halmazok
131 6a 2d „d Tehát : — = 6 — a á а Ebből a kifejezésből látható, hogyha a kocka éle 600-szor nagyobb a szemek átmérőjénél, a sűrűségbeli különbség értéke egy százalékot sem tehet ki ; ha pedig (3000-szer nagyobb, a különbség még az egy ezreléket sem érheti el. Vagyis a lapokkal határolt halmaz sűrűsége a határtalan halmaz sűrűségénél kisebb lehet, de ha a határolt halmaz kiterjedése elég nagy, ez a különbség elhanyagolható. A következőkben képzeljük el, mintha határtalan egyenletes halmazokat rétegekből mi magunk állítanánk elő. Ez az előállítás úgy történik, hogy először is alapidomul egy alkalmas síkidomot választok, mellyel a síkfelületet maradéktalanul lehet kitölteni. Az alapidom egyes pontjait megfelelő előrelátással megjelölöm. Ezek a pontok lesznek a gömbök középpontjai. Azután az alapidommal egybevágó idomokkal kitöltök egy tetszőleges síkot. A halmaz gömbjeit úgy helyezem el, hogy középpontjaik a sík azon pontjaira jussanak, ahova az alapidomokon megjelölt pontok kerültek. Természetesen az alapidomon a gömbök középpontjait úgy kellett kijelölnöm, hogy a gömbök elhelyezésük után ne messék egymást. Ilyen módon elkészült a halmaz egyik rétege. Azt a síkot, melyen a gömbök középpontjai vannak, a réteg lcözépsíkjánalc nevezzük. Ezután még egy ugyanilyen, az előbbivel tökéletesen egybevágó (kongruens) réteget készítek, ugyanolyan módon elhelyezett gömbökből. Az új réteget úgv állítom az első réteg mellé, hogy középsíkja az első réteg középsíkjával párhuzamos legyen és a középsíkokra rajzolt alapidomok oldalai is páronként valamennyien párhuzamosak legyenek, azonkívül a két réteg gömbjei érintsék egymást. Ilyenkor a két réteg középsíkja úgy fekszik egymás mellett, hogyha az egyiket önmagával mindig párhuzamosan mozgatnám, reá tudnám fektetni a másik réteg középsíkjára, úgy, hogy azt tökéletesen egybevágóan elfödné. Ilyenkor az alapidomok is födnék egymást. A rétegek egymás mellé helyezése során többféle eset fordulhat elő. Megtörténhetik, minden gömb csak egy olyan gömböt érint, amely a másik réteghez tartozik ; de megtörténhetik az is, hogy minden gömb több, az idegen réteghez tartozó gömböt érint. Ezután még egy harmadik réteget készítek gömbökből és azt az első réteg másik oldalán helyezem el ugyanolyan módon, mint az elsőt. Nem szükséges az, hogy ez a harmadik réteg éppen akkora távolságra legyen az elsőtől, mint a második réteg van, csupán az a fontos, hogy a harmadik réteg gömbjei is érintsék az első réteg gömbjeit. így aztán előfordulhat, hogy minden gömb, mely a középrétegben fekszik, különböző számú gömbbel érintkezik a két szomszédos réteg felé. Tegyük fel, hogy a második réteg távolsága az elsőtől m v a harmadik réteg távolsága az elsőtől m 2 (lásd a 2. ábrát). Most már végtelen sok réteget készíthetünk és azokat a leírt módon fölváltva m v majd m 2 távolságban párhuzamosan az előzők mellé állítva, egyenlő gömbökből álló, határtalan, egyenletes halmazokat kaphatunk. A leírt származtatási módból az nem következik, hogy halmazunk összenyomhatatlan is. Ezt a körülményt még a halmaz előállítása után külön kell megvizsgálnunk. A származtatási mód főképen arra szolgál, hogy a halmazokat könnyebben vizsgálhassuk meg. Ábráinkon a rétegek középsíkjait rendszerint vízszintesen rajzoljuk, és ilyen réteges halmazoknál elég három réteget szemmel kísérni. Ezért az ábrákon elég egy felső, egy középső és egy alsó réteget megvizsgálnunk. 9*
