Zsuffa István: Műszaki hidrológia III. (Budapest, 1999)

5.3. A HASZNOSÍTHATÓ VÍZKÉSZLETEK

Emeljük ezen 5.379 egyenlőség mindkét oldalát p-edik hatványra és felhasználva a Qmin(tk), DQk, Tk egymástól független valószínűségi változók összegének és szorzatának várható értékeire vonatkozó egyszerű összefüggéseket, számítsuk ki a Qmin p-edik momentumát:

M{[Qm„ (tk )]P } = M{[Qmin (tk_,) + DQk ]P } • M(e-p“Tk)

5.380

A rk valószínűségi változó e-pa'Tk függvényének várható értéke könnyen számítható. Mivel az árhullámok, illetve az azokat modellező „felugrások” független növek- ményű esemény folyamatának egyes felugrásai közötti Tk időtartamok eloszlása szükségszerűen exponenciális:

H(x) = P(táx) = l-e ^

ennek sűrűségfüggvénye, amint azt már többször felírtuk és felhasználtuk:

h(x) = ß •

5.381

5.382

A keresett várható érték tehát: M

fe“p<xtk) = íe“pax • p • e-ßxdx = ß • íe'(fKl+p)'xdx = ,

[ J í o (p-a+ß)

5.383

Az munkahipotézisünk szerint ugyancsak exponenciális eloszlású DQk p-edik hatványának várható értéke pedig:

m(dQp) = jxp •y e~r Xdx = Mp-vel jelölve a Qmui(tk) valószínűségi változó

5.384

M =M Q

.(•or}

5.385

p-edik momentumát, a binomiális tételt felhasználva felírhatjuk, hogy p0V)J yp J p-a + ß

5.386

193