Zsuffa István: Műszaki hidrológia II. (Műegyetemi Kiadó, 1997)

4.5 A VÍZFOLYÁSOK VÍZJÁRÁSÁNAK IDŐBENI ALAKULÁSA

feladat egyszerű szélső érték számítással oldható meg. A 4,347 összefüggésnek ott a maximuma ahol a szorzatfüggvény a, b,... paraméter értékek szerinti parciális differenciálhányadosainak az értéke 0. Azaz a paramétereket a 4.347 függvényből számított

— = 0 (4.348)

db

egyenletrendszer megoldásával kell meghatározni.

A logaritmikus függvény monoton növekvő tulajdonságából következik, hogy az InP függvény és a P függvény maximum értékeinek helye, a, b,... koordinátái megegyeznek. így számítás technikai szempontból célszerű a P függvény helyett a InP függvény azonos koordinátájú szélső értékeit számítani. Azaz a

InP = ln|f (x,) • f (x2 )•... .-f (xn ) ■ (dx)n J =

= lnf(x,) + lnf(x2)+....+lnf(xn) + nlndx = (4.349)

n

= y^lnf(x,) + n- lndx

i=l

összegfüggvény szélső értékeit kell keresnünk. Azaz a

dM „

da

dflnP]-1----i = 0 (4.350)

d

b

„likelihood egyenletrendszer” megoldása a feladat. A hidrológiában használt eloszlás- függvények közül a normális eloszlás két paraméterét, az m-et és a ot a maximum likeéihood eljárás szerint is a statisztikai minta adatainak számtani átlagával illetve empirikus (korrigálatlan) szórásával kell becsülni. A Gumbel eloszlás paramétereinek maximum likelihood becslése igen fáradságos kézi munkát igényel, de Gumbel a legkisebb négyzetek módszerével a paraméterek optimális becslése speciális eljárást dolgozott ki, amely könnyen alkalmazható. A „simuló” eloszlásfüggvényként gyakran alkalmazott lognormális eloszlás paramétereinek maximum likelihood módszerrel történő optimális becslése Prékopa „Valószínűségelmélet” könyvéből sajátítható el.

Fölhívjuk az olvasó figyelmét arra, hogy a legnagyobb valószínűségek módszertanával végzett számításokkal igazolható, hogy a normális eloszlás paramétereinek a becslésénél a legnagyobb valószínűségek módszere, a maximum likelihood módszer a

357