Zsuffa István: Műszaki hidrológia II. (Műegyetemi Kiadó, 1997)
4.5 A VÍZFOLYÁSOK VÍZJÁRÁSÁNAK IDŐBENI ALAKULÁSA
,-.(x+b) F(x) = e- összefüggésben 1.282 a =—TTCTfé) illetve b = 0.577 M(5)-M(?) (4.346) ahol ct(£) a q valószínűségi változó szórása, M(q) a várható értéke. Amint arra már utaltunk ezen momentumok, azaz az úgynevezett elsőrendű momentum, a valószínűségi változó M(£) várható értéke és az úgynevezett második centrális momentum, a valószínűségi változó a2© szórás-négyzete a véges, sok esetben kicsiny, elemszámú statisztikai minta adatainak számtani középértékével, illetve empirikus szórásával becsülhetők. E becslések közelítő jellege azonban az eloszlásfüggvény megbízhatóságát befolyásolja. A matematikai statisztika eszközeivel bizonyítható, hogy a keresett paraméterek ennél megbízhatóbb becslését a statisztikai minta adatai alapján az úgynevezett „legnagyobb valószínűségeknek a maximum likelihood” módszere szolgáltatja. A legnagyobb valószínűségek módszerének, a maximum likelihood módszernek alapelve, hogy az észlelt adatsornak, azaz azoknak az eseményeknek, amelyek megtörténtek, a statisztikai mintánk n észlelt elemének, amelyek a kérdéses, keresett eloszlású statisztikai sokaságból származnak, az előfordulási valószínűsége, az ugyanezen statisztikai sokaságból kiemelhető összes azonos n elemű minta közül, a legnagyobb, hiszen ez az ami bekövetkezett. Annak a valószínűsége, hogy első észlelt adat pontosan az észlelt xi érték legyen, nyilvánvalóan 0, hiszen folytonos valószínűségi változóról van szó. Annak a valószínűsége viszont, hogy e vizsgált valószínűségi változó ezen xi érték dx környezetében forduljon elő, 4.339 szerint f(x,)dx. Annak a valószínűsége hogy a második adat x2 környezetében legyen f(x2)dx, hogy az n-edik az észlelt xn környezetében, f(xn)dx. Az adatok függetlensége esetén tehát annak a valószínűsége, hogy n év során éppen az észlelt xi, x2,...,xn adatok forduljanak elő, ezen valószínűségek szorzata: P = f(x,).f(x2). ....f(xn) (4.347) E zen együttes előfordulási valószínűségű értéknek kell maximálisnak lennie. A számítások során a megválasztott elméleti, illetve ha ilyenre nincs mód, simuló eloszlásfüggvény típusát rögzítjük. Ezen eloszlásfüggvény sűrűség függvényének f(x, a, b,...) ismert képletének a, b,... paramétereit kell meghatároznunk. A 4.347 képlet által adott szorzatvalószínűség számértéke nyilván ezen a, b,... paramétereknek a függvényében változik. Az a, b,... paramétereket tehát úgy kell megválasztanunk, hogy a 4.347-vel adott érték maximális legyen. Nyilvánvaló, hogy az így megfogalmazott 356
