Zsuffa István: Műszaki hidrológia II. (Műegyetemi Kiadó, 1997)

4.5 A VÍZFOLYÁSOK VÍZJÁRÁSÁNAK IDŐBENI ALAKULÁSA

normális eloszlásfüggvény esetében bizonyítható (lásd Prékopa, 1964) hogy

oo (x-m)2

lim£ = Mfe) =-----t=- íx-e 2<JÍ dx = m (4.341)

"-** a--Jl-n

Az F(x) = 1 - e_Xx

exponenciális eloszlás esetén pedig

M(^) = [ x • X + e_Xxdx = — (4.342)

o

A valószínűségi változó szórására, változékonyságára jellemző úgynevezett empirikus szórásnak azaz a egyes adatok középértéktől való eltérései négyzete átlagának stohasztikus határértéke az előzőekhez hasonlóan az alábbi összefüggéssel számítható:

É[5i-m(5)]2 „

lims2fé)= lim —-----------------= í(x-m)2 -f(x)dx (4.343)

n

—>oo v ' n->co n J-00

A 4.343 összefüggés fölhasználásával tehát a statisztikai minta adataiból számított,

*2(y)=

i=l

n-1

(4.344)

úgynevezett korrigált szórás segítségével további paraméterek számíthatók. A 4.343 összefüggés alapján ugyanis bizonyítható, hogy normális eloszlás esetén

lims2

|(x-m)2

•e 2'CT dx = cr2

n->oo

(4.345)

Az adatokból számított korrigált empirikus szórással tehát a normális eloszlás másik, a paramétere is becsülhető.

Gumbel eloszlás esetén a várható érték számítására szolgáló 4.340, illetve a szórásnégyzet 4.343 képletének együttes alkalmazásával bizonyítható, hogy az

355