Zsuffa István: Műszaki hidrológia II. (Műegyetemi Kiadó, 1997)
4.5 A VÍZFOLYÁSOK VÍZJÁRÁSÁNAK IDŐBENI ALAKULÁSA
y' _ D + Ex y A + Bx + Cx2 differenciálegyenletnek, amely egyrészt a Markov-Pólya-Eggenberger féle umamodell- ből levezetett eloszlásból vezethető le és amely alapján a századunk közepéig ismert legtöbb folytonos eloszlás (például többek között a Normális és a Gamma eloszlás ) is beletartozik. A modem valószínűségelméletben, és ennek megfelelően a hidrológiai statisztikában, az umamodelleknek korlátozott szerepük van. Ne gondoljuk tehát azt, hogy a Pearson család a gyakorlatban előforduló fontos eloszlásokat speciális esetként tartalmazza. Az egyes konkrét problémák megoldására a jelenség sajátosságait híven tükröző matematikai modellt kell fölállítanunk. Ilyen formán sok olyan folytonos eloszlás is fölmerül, amely nem tartozik a Pearson családba.” Gyakran alkalmazott simuló eloszlás függvény a már többször idézett „log- normális” vagy Házén függvény. Alkalmazásánál igen sokszor érvelnek azzal, hogy az N(m, ct) normális eloszlással ellentétben ezen logaritmikus függvény értelmezési tartománya szigorúan pozitív, ezért a vízhozamok esetében alkalmazása így „elméletileg indokolt”. (Vízállások esetén pedig az x*, = H(Q = 0) harmadik paraméter bevezetésével lehet ugyanezzel érvelni). Ezen érvelés azonban nem kielégítő: a központi határeloszlás tétel ugyanis sok szigorúan pozitív, tetszőleges eloszlású valószínűségi változó összegére, azaz szigorúan pozitív valószínűségi változó eloszlására is igaz. Az N(m, ct) eloszlásfüggvény x < 0 független változókhoz rendelt függvényértékei, azaz az előfordulási valószínűségei nem csak gyakorlatilag elhanyagolhatóan kicsinyek, hanem a normális eloszlású valószínűségi változókra érvényes Bemouilli azon tétele, amely szerint az CT standardizált, N(0,1) eloszlású valószínűségi változó esetén lim(xs V2 1nn) = 0 (4.336) n->co\ / Vagyis például annak a valószínűsége, hogy az elkövetkező 100 évben az m várható értékű és ct szórású normális eloszlású évi maximális vízhozam meghaladja a cr-v/2-lnlOO + m = 3.03 ■ ct + m értéket, illetve a minimális érték kisebb legyen m - ct ■ V2 • InlOO = m - 3.03ct -nál 0, azaz ilyen értékek előfordulása lehetetlen esemény. Amint azt a folyómedrek alakulását tárgyaló potamológia című fejezetben részletesen tárgyaljuk, a lognormális eloszlás a folyómedrek hordaléka szemeloszlási görbéjénél elméleti leírásának az alapja, hiszen, ha a normális eloszlás olyan valószínűségi változókat jellemez, amely sok egymástól független valószínűségi változó összege, akkor a lognormális eloszlás azon valószínűségi változót jellemzi, amelynek logaritmusa sok egymástól független valószínűségi változó logaritmusának az összege. Azaz a közismert elemi matematikai tör/ények alapján ezen valószínűségi változó sok, 352
