Zsuffa István: Műszaki hidrológia I. (Műegyetemi Kiadó, 1996)
3 A HIDROLÓGIAI KÖRFOLYAMAT ELEMEI
( = lim-! — • k! /. n • (n- I) • (n - 2)-...-(n - k + I) n- ii- iv . n ,2V (3.79) Az átrendezett szorzat tényezőinek a határértékei könnyen meghatározhatók: A első tört értéke n-től független, tehát a határát menetben is változatlan. A második tényező törtje k számú áltört szorzatára bontható: Ihn n n • (n - 1) ■ (n - 2)-... (n - k + I) n n -1 n n- k + = Inn IMII S n->Y 1 n- n - ik -n n >f\_n 11 11 11 J í,.k+l)l í 1 1J 1 nJ" n )\ Nyilvánvaló, hogy ezen szorzat minden tényezője az n —> x határálmcnetnél 1-hez tart. hiszen a tényezők I-et követő negatív előjelű tagjainak számlálója véges szám. az n nevezője pedig a végtelen felé. így maguk a törtek a zérushoz, tartanak. Tehát jl.fl. 'I .! r,.2] 1. 1 r, k+i i V n/ 1 II/1 1 ••■1- n Hasonlóképpen nyilvánvaló hogy a (4) összefüggés harmadik tört tényezőjének nevezője is 1-hez. tart. hiszen Á számláló, a hipotézis szerint véges értékű paraméter, a k kitevő pedig a keresett k eseményszám, szintén v éges érték, azaz: limf I-— = (I - <))k = 1 (3.81) " >A „V Ezen harmadik tört nevezőjéről pedig, a vonatkozó függvény sorba fejtésével köny- nyű bizonyítani, hogy a természetes logaritmus e alapjának a negatív /. kitevőjű hatvá- nva. azaz: lim 1-— =e‘?" (3.82) n v\ nJ Végeredményben tehát az adott időszakon belül előforduló esapadékok számának valószínűségi eloszlását a 150
