Zsuffa István: Műszaki hidrológia I. (Műegyetemi Kiadó, 1996)

3 A HIDROLÓGIAI KÖRFOLYAMAT ELEMEI

Jelöljük íi-nel az N napos időszaknak megfelelő időegységek összességének a számát (n = 24N óra, n = 96N negyedóra stb). Láttuk, hogy amikor ez az n szám növekszik. mert az. időegységet csökkentjük, a egyetlen időegység csapadékosságára vonatkozó valószínűség csökken. Tételezzük föl hogy e két irányú változás arányos, azaz tetszőleges n esetén az n-P szorzat állandó marad, azaz

np = k (3.74)

Tételezzük föl. hogy ez az. összefüggés Dt ->• 0. azaz n -» oc határátmenetre is érvényes. Vizsgáljuk tehát az. impulzus szerűen, egyetlen időpillanatra koncentrált esők számának valószínűségi eloszlását a fölírt hipotézis fölhasználásával, azaz. határozzuk meg az alábbi határfüggvényt:

lim {f(k)| = p(K = k) = lini-ij ” I ■ Pk (I - P)n'k |

n-»w>* n~>«. yky

(3.75)

A lim {n • Pj = k

n—'

(3.76)

hipotézis fölhasználásával a P paramétert a

n

(3.77)

hányadossal helyettesítjük, és az. „n alatt a k” szimbólum helyett a megfelelő szorzatot írjuk:

lim|f(k)| = p(K = k)

n—><*■- pk (i - P)n'k

n • (n-1) - (n - 2)-.

.-(n-k+1) Ák

r.A'i

n-k |

k!

nk

l nk J

1

(3.78)

A szorzaton belül rendezzük át a tényezőket, n k-adik hatványát írjuk szorzat alakjában és az. utolsó tényezőt írjuk föl a megfelelő tört alakban:

lim{f(k)} = p(K = k) = limjí "I Pk -(1 - P)"-k 1 = n-></ n-*<r I Vkv

149