Zsuffa István: Műszaki hidrológia (Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 1996)
1. A PASSZÍV VÍZGAZDÁLKODÁS HIDROLÓGIÁJA
A képletből a keresett valószínűség azonnal adódna, ha n ismert, fix érték lenne, n azonban lehet 0 (nincsen Q^-át meghaladó árhullám), lehet 1, lehet 2, és igy tovább. Annak a valószínűsége, hogy 0, 1, 2 ... ‘n darab árhullám jelentkezzék, a Poisson eloszlásból ismert. így tehát föl- irhatő, hogy pontosan n árhullám jelentkezése esetén mi annak a valószínűsége, hogy valamennyi tetőzése x-nél kisebb: Hn(x) . P(n) (74) ahol P(n) a Poisson valószínűségi eloszlásból n árhullám előfordulásának a valószínűsége. Mivel a keresett tetőzés kialakulhat, 1, 2, ... n, n+T, ... évi árhullámból is, az ezekre az árhullámszámokra számított valószínűségeket összegezni kell: oo 2 H‘(*> • p(l> <75> i=l A fönti összefüggés már használható azzal a föltétellel, hogy a kérdéses évben egyáltalán előfordul árhullám. (Ezt az utat követte Reimann József, aki külön vizsgálta az árhullámelőfordulás föltételét is.) Az eredeti Todorovic-Zelenhasiő féle levezetés azonban érvényes marad a föltétel nélküli végeredmény megkonstruálásánál: F(x) = p(NQ<x) = 2 h1<x> • PW (76) i=0 hiszen n = 0 behelyettesítésével éppen annak a valószínűségét kapjuk, hogy a megfelelő évben nincsen Qg'át meghaladó árhullám. A felirt (76) összefüggés adja a keresett valószínűségi eloszlásfüggvényt. Az összefüggés ebben a formájában kézi számításra nem alkalmas, hiszen az összes árhullám gyakorisági eloszlását sorra hatványozni, majd e hatványoknak a Poisson eloszlás valószínűségeivel való szorzatait elég magas hatványkitevőig összegezni, kézzel nem megoldható föladat. A kézi számításokhoz további hipotézisekre van szükség. Munkahipotézisként alkalmazzuk azt, hogy a Qg-nál nagyobb árhullámok ^max tetőzésének H(x) eloszlása is exponenciális. Másszóval az összes árhullám tetőzésének gyakorisági eloszlását exponenciális eloszlással simítjuk. A simítás illeszkedését ellenőrizni kell. Abban az esetben ugyanis, ha az összes árhullám exponenciális eloszlású, azaz HM -p (J ““ex). I - e-/5» (77) akkor az analízis egyszerű tételeinek az alkalmazásával bebizonyítható, hogy az évi maximális árvizek keresett valószínűségi eloszlása F(x) = p (NQ < x) =- A e‘ P (78) ahol p az összes árhullám tetőző értéke átlagának a reciproka, X pedig az árhullámok évi számának az átlaga. A (78) képletben nem nehéz fölismerni a Gumbel féle eloszlásfüggvényt, hiszen X = InA. e (79) azonosságot behelyettesítve a (77) összefüggés igy is irhatő: F(x) = e- fi> (x-Q0)+ ln;L (80) Megjegyzés: A független események halmazából kiemelt szélsőértékek eloszlását a matematikusok közül először R. A. Fisher és L. H C. Tippett vizsgálta. Gumbel részben az ő eredményeikre támaszkodva vezette be az árvizvizsgálatokba ezeket az eloszlástipusokat. 96
