Starosolszky Ödön: Vízépítési hidraulika (Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1970)
XIII. Sebességeloszlás. Határréteg. Diffúzió
Ha a diffúziós tényező az idő függvénye, azaz D = f(t), de a többi változótól nem függ, bevezethető egy új időlépték dJ=f(/)dí, és ekkor a diffúziós differenciálegyenlet Őc d2c d2c d2c ÖT = dx2 + Öy2 +~dz2 alakra vezethető vissza, most már az új T változóval. Alapjában minden egyenlet de = div(Z)grad c) (13/62) (13/63) alakra vezethető vissza, azaz a lamináris síkbeli mozgás differenciálegyenletével analóg, csak c helyére u helyettesítendő és a D diffúziós tényezőt az rj dinamikus viszkozitás helyettesíti. A diffúziós egyenlet általánosan megoldható a változó kezdeti és határfeltételek függvényében, feltéve, ha a diffúziós tényező állandó. A megoldás vagy a hibafüggvények és csatlakozó integrálok sorából, vagy szögfüggvények sorából áll, amelyek nagyobb időtartam esetében konvergálnak. Hibafüggvényekkel a számszerű megoldás rövidebb időtartamra, azaz a diffúzió kezdeti szakaszára megfelelő. A megoldásokhoz három alapvető módszer használható fel: a reflexió és szuper- pozíció (hibafüggvénysor esetében), a változók szétválasztása (szögfüggvénysor esetében) és a Laplace-transzformáció, amely mindkét függvénytípusra alkalmazható. A vízépítő mérnöki gyakorlatban — különösen hazánkban — a molekuláris diffúziónak alig van jelentősége, ezért e helyen ezzel nem is foglalkozunk, csak utalunk Crank, I. könyvére, amely a diffúzió különféle eseteire ad matematikai megoldást. Nem foglalkozunk a sugárdiffúzióval sem (amelyre a X. fejezetben már utaltunk), hanem kizárólag az áramlásokban létrejövő turbulens diffúzióval. 6.2. Turbulens diffúzió áramlásokban A turbulens áramlásban végbemenő töménységváltozásokat részben a turbulencia, részben az áramlás szállítóképessége okozza. Bár az alapvető differenciálegyenlet levezetése eléggé ismert, a teljesség kedvéért foglaljuk össze. Az anyagmegmaradás törvényét egy dx, dy és dz elemi méretekkel jellemzett hasábra felírva és a sűrűség változását elhanyagolva, azaz a sűrűséget állandónak véve, továbbá a turbulens sebesség pillanatnyi értékét a középérték és a pulzáció összegével kifejezve és ezeket az időben átlagolva kapjuk, hogy (13/64) d(c + c') d dt + fa KC + C0(“ + U')] + ^[(C + C')(V + t')] + [(c + c')(w + w0] 0, ahol c a töménység, a diffundáló anyag tömegének viszonya a teljes oldat tömegéhez, u, v és w az x, y és z irányú sebességösszetevők, a felülvonás az időbeli átlagértékre, a vessző index a pulzációs tagra utal. 638
