Reimann József - V. Nagy Imre: Hidrológiai statisztika (Tankönyvkiadó, Budapest, 1984)

3. Valószínűségeloszlások jellemzői

Innen látható, hogy az X egész értékű valószínűségi változó várható értéke:

E{X) = G'{ 1),

(3.29)

szórásnégyzete:

DfX) = G"(1) + <7(1)-[G'(1)]2.

(3.30)

Vegyük észre, hogy a

G(x) = 2 *kPk

k

generátorfüggvény maga is egy várható érték, mégpedig az xx valószínűségi változó várható értéke (a várható érték definíciója szerint), azaz

E(x*) = ZxkPk = G(x).

(3.31)

k

Ebből az észrevételből fontos tételt származtathatunk független valószínűségi változók összegének generátorfüggvényére. Legyenek Xx, X2, ..., X„ függetlenek, egész értékű valószínűségi változók és legyen Y=Xx+X2+... +Xn. Ekkor az Y valószínűségi változó generátorfüggvénye:

Gy(x) = E(xY) = £(**.+*.+ •■■+*») = E(xxi-xx*... xxn) = E(xxí)E(xx*)... E(xx») =

Ugyanis az Xx, X2, ..., X„ változók függetlensége miatt az xx', xXz, ..., xX" változók is függetlenek, és független valószínűségi változók szorzatának várható értéke a várható értékek szorzatával egyenlő.

Látjuk tehát, hogy független valószínűségi változók összegének generátorfüggvénye az egyes változók generátorfüggvényeinek szorzatával egyenlő. Ezt a tételt az egyes nevezetesebb valószínűségeloszlások tárgyalása során alkalmazni fogjuk független változók összege eloszlásának meghatározására, mivel generátorfüggvények segítségével általában sokkal egyszerűbb az összeg eloszlását meghatározni, mint a kon- volúciós szabály alkalmazásával, amely inkább elméleti jelentőségű.

Az alkalmazásokban gyakran előfordul, hogy független, azonos eloszlású valószínűségi változók összegének eloszlását kell meghatároznunk. Ekkor a Gy(x) a következő alakot ölti (ha n tagú összegről van szó):

A Gy(j) generátorfüggvény explicit kifejtésében xk együtthatója adja meg a P(Y—k) valószínűséget.

— GX\(a) ■ Gxfx)... GXn(x).

(3.32)

Gy(x) = [Gxfx)r.

(3.33)

88