Reimann József - V. Nagy Imre: Hidrológiai statisztika (Tankönyvkiadó, Budapest, 1984)

3. Valószínűségeloszlások jellemzői

3.6.2. A karakterisztikus függvény

A generátorfüggvény csak nemnegatív egész értékű valószínűségi változók esetére van értelmezve. Tetszőleges valószínűségi változók esetében a generátorfüggvényhez hasonló szerepet játszik az ún. karakterisztikus függvény. Egy X valószínűségi változó karakterisztikus függvényén az exp itX komplex értékű valószínűségi változó várható értékét értjük. Jelöljük az X valószínűségi változó karakterisztikus függvényét (px(t)-\e\, ekkor: cp(t) = E(e"x)=E(cos /A) + /is(sin IX), i2=— 1.

Tárgyalásaink során a karakterisztikus függvényt csak folytonos eloszlású valószínűségi változókkal kapcsolatban fogjuk használni. Ezen esetben:

<Px(0 = f e“xf(x)dx, (3.34)

ahol f(x) az X valószínűségi változó sűrűségfüggvénye. A karakterisztikus függvényt az analízisben Fourier-transzformáltnak nevezik.

A karakterisztikus függvény néhány fontosabb tulajdonsága:

\<Px(t)\ = | f eilxf(x)dx| ■ f \eilx\f(x)dx = 1, (3.35)

mivel

\ei,x\ = Jcos2 tX + sin2 tX = f I = 1.

Megjegyezzük, hogy

<Px( — 1) = E(e~i,x) = £[cos ( — tX) + i sin ( — tX)] =

= £(cos tX) — i£(sin tX) = (px(t).

A Fourier-transzformáció elmélete szerint, ha

/ \<p(t)\dt <+»,

akkor

f(x) = f e~i,x(p(t)dt, (3.36)

azaz a karakterisztikus függvény ismeretében a sűrűségfüggvény meghatározható. A karakterisztikus függvény egyértelműen meghatározza a valószínűségeloszlást. Tárgyalásaink során a (3.36) inverziós formula alkalmazására sem lesz szükségünk, mivel csak néhány folytonos eloszlás karakterisztikus függvényét fogjuk meghatározni, és az ismert karakterisztikus függvényből közvetlenül tudni fogjuk, hogy milyen eloszlásról van szó.

89