Reimann József - V. Nagy Imre: Hidrológiai statisztika (Tankönyvkiadó, Budapest, 1984)
3. Valószínűségeloszlások jellemzői
A Csebisev-féle egyenlőtlenség a hidrológiában több esetben igen eredményesen alkalmazható. Az egyik legfontosabb alkalmazási terület pl. annak kimutatása, hogy a Monte-Carlo-módszerrel generált adatsorok alapján nyert eloszlások mennyire közelíthetők a bizonyos feltételezések alapján kapott tapasztalati kapcsolatokkal [96]. 3.4. A valószínűségi változók momentumai Az előző pontban a (3.2) és (3.3) összefüggések segítségével definiáltuk egy X valószínűségi változó valamely <p(X) függvényének a várható értékét. A tp(X) függvény speciális megválasztásával nyerjük a valószínűségi változó momentumait. Legyen (p(X)=Xk, akkor az a* = £{Xk) (3.17) várható értéket az X valószínűségi változó /r-adik momentumának nevezzük. Tárgyalásaink során valamely X valószínűségi változó várható értékét, momentumait stb. említjük, holott ténylegesen az X valószínűségi változó eloszlásának várható értékére, ill. momentumaira kell gondolnunk. A valószínűségeloszlás várható értéke egy tömegeloszlás súlypontjával, a valószínűségeloszlás momentumai pedig a megfelelő tömegeloszlás nyomatékaival analóg fogalmak, azonos a kiszámítási módjuk is. így pl., ha X diszkrét eloszlású valószínűségi változó X\, x2, ..., xn lehetséges értékkel, amelyeket rendre pk, p2, ..., p„ valószínűségekkel vesz fel, akkor az E(X) = É Píxí [ZPí=1] várható érték egyben annak a tömegeloszlásnak a súlypontja, amelyet úgy kapunk, hogy a számegyenes xk,x2, ■■■, xu pontjaiba rendre pk, p2, tömegeket helyezünk el. Hasonló a helyzet folytonos eloszlás esetében is, csupán ekkor valószínűségsűrűségfüggvény helyett tömeg-sűrűségfüggvény szerepel. A valószínűségi változó momentumai a megfelelő tömegeloszlásnak az origóra vonatkoztatott statisztikai nyomatékai. Hasonló módon definiáljuk az ún. abszolút momentumokat. X valószínűségi változó A>adik abszolút momentuma: ak = E{\X\k). A momentumok létezéséhez megköveteljük a megfelelő abszolút momentumok létezését (véges értékét). Szokás bevezetni a centrális abszolút momentumokat is. A X valószínűségi változó &-adik abszolút centrális momentuma: mk = E[\X-E{x)\k], k = 1,2....... 6 Hidrológiai statisztika 81
