Reimann József - V. Nagy Imre: Hidrológiai statisztika (Tankönyvkiadó, Budapest, 1984)
3. Valószínűségeloszlások jellemzői
Képezhetjük a várható értéktől való eltérések k-adik hatványait is. Legyen cp(X) = [X-E(X)]k, akkor: Ик = Е{[Х-Е(Х)]к} (3.18) az X valószínűségi változó k-adik centrális momentuma. A valószínűségi változó szórásnégyzete nem más, mint a második centrális momentum: D\X) = л = E{[X-E(,X)f) = E(X*)-E\X) = a2-otf. Nyilvánvaló, hogy k = 0 esetben a momentumok és centrális momentumok az egységgel egyenlők, továbbá az első centrális momentum (k=l) zérus. Egyszerű számolással belátható, hogy a többi, magasabb rendű centrális momentum is kifejezhető a momentumok segítségével. Például h3 = EKA—aj)3] = E(Xí)-2ol1E{X'2)e2,olIE{X)-(x\ = аз-За^+г«?, hí = E[{X—ax)4] = a4 —4a1o'3 + 6a?a2 —3a4. A momentumok, ill. abszolút momentumok kiszámítása diszkrét eloszlású valószínűségi változók esetében az ill. formulák segítségével történik*, míg folytonos eloszlású valószínűségi változó esetén, ha X sűrűségfüggvénye f(x): a* = / xkf(x)dx, ak = f \x\kf (x)dx, — oo — со ill. dk = J (x-a1)kf(x)dx, mk = f \x-ci1\kf(x)dx. A momentumok és centrális momentumok közötti kapcsolatok: ho=l, hí = 0, /t2 = a2-a i, /<3 = a3 —3a2a1 + 2a3, hí — а4 — 4ос3а1 + 6а2а4 — За4. Megemlítjük, hogy ha egy X valószínűségi változó eloszlása a várható értékére nézve szimmetrikus, akkor páratlan rendű centrális momentumai zérusok. * Feltételezzük, hogy az összegek és integrálok abszolút konvergensek. 82
