Reimann József - V. Nagy Imre: Hidrológiai statisztika (Tankönyvkiadó, Budapest, 1984)
3. Valószínűségeloszlások jellemzői
A Csebisev-egyenlőtlenség azt jelenti, hogy pl. annak valószínűsége, hogy egy valószínűségi változó értéke a várható értékétől abszolút értékre nézve jobban eltérjen 2D(X)-nc\ kisebb, mint 1/4, míg annak valószínűsége, hogy X megfigyelt értéke az [E(X)~2D(X), E{X) + 3D{X)'\ intervallumon kívül essék kisebb, mint 1/9. Más szóval — a számegyenesen felrajzolva a fenti intervallumot (3.1. ábra) — : EW-2DI.X) EVŐ EW+3D(,X) 7 3.1. ábra amikor X-re nagyszámú megfigyelést végzünk, akkor a megfigyelt értékek kb. 90%-a ebbe az intervallumba esik, feltéve, hogy X várható értéke és szórása létezik. Ameny- nyiben a (3.15) összefüggésben /.D(X)=e helyettesítést alkalmazunk, akkor 1/A2 = D2(X)/e2, így az összefüggés ekvivalens a következő állítással: P{\X-E(X)\ > e) D2(A)/e2. (3.16) Bizonyítás: Egyszerűség kedvéért vezessük be az E(X) — m, D(X) = a jelölést. Amikor X diszkrét eloszlású jc1s x2, ..., x„, ... lehetséges értékekkel, amelyeket rendre px, p2, ..., p„, ... valószínűségekkel vesz fel, akkor: ff2 = 2 (Xi-m)2Pi S 2 (Xi-mfpi Ä e2 2 Pi = <?P(\X-m\ > s). i i:\Xt—m\>-8 í:|Xf — w|>e Innen: P(\X— m\ > e) s cr2/e2. (3.16a) Amikor X folytonos eloszlású f(x) sűrűséggel, akkor oo m — £ OO a2— J (X—m)2f(x)dx^ J (X—m)2f(x)clx+ J (X—m)2f(x)dx^ — oo — oo rn + £ ( m — £ oo \ J f(x)tlx+ J f(x)dx = z2P(\[X-m\ > e), — oo m + £ / amiből a tétel állítása leolvasható. Megjegyzés: A Csebisev-egyenlőtlenség igen általános érvényű; minden olyan valószínűségi változó ingadozásának mértékére vonatkozik, amelynek várható értéke és szórása létezik. Éppen mert a tétel rendkívül általános érvényű, nagy pontosság az adott nagyságú eltérés valószínűségére nem is várható tőle. Látni fogjuk, hogy pl. a gyakorlatban igen fontos normális eloszlás esetében a valószínűségi változó értékei sokkal szűkebb intervallumba tömörülnek a várható érték körül, és pl. az \X— —E{X)\>2o eltérés valószínűsége, ha X normális eloszlású, kisebb, mint 0,05. A tétel mégis jelentős, mert olyan esetben is tájékoztatást nyújt az eloszlásra, amikor csak a várható értéket és szórást ismerjük. 80
