Reimann József - V. Nagy Imre: Hidrológiai statisztika (Tankönyvkiadó, Budapest, 1984)

3. Valószínűségeloszlások jellemzői

Tehát az E(X) = m várható érték a számegyenesnek az a pontja, amelytől a valószínűségi változó értékeinek négyzetes átlageltérése kisebb, mint bármely más ponttól számított négyzetes átlageltérése.

A (3.12) összefüggést Steiner-formulának. nevezzük.

A szórásnégyzetre vonatkozó tételek a következők:

1. tétel. Amikor az Y valószínűségi változó az X valószínűségi változónak lineáris függvénye: Y=aX+b, akkor

D2(Y) = a2D°-(X). (3.13)

Bizonyítás: A szórásnégyzet definíciója alapján

D-(Y) = E{[aX+b-E(aX+b)]2} = E{[aX-E(aX)]2} =

= a2E[X-E( A)]2 = a2D2(X).

2. tétel. Amikor X és Y független valószínűségi változók és Z = X+Y, akkor

D2(Z) = D-(X)+D2(Y). (3.14

Bizonyítás: Amennyiben X és Y függetlenek, akkor X — E(X), és Y—E(Y) is függetlenek. Figyelembe véve, hogy független valószínűségi változók szorzatának várható értéke a várható értékeik szórásnégyzetével egyenlő, továbbá, hogy E[X—E(X)\ = 0, E[Y—E(Y)] = 0, a szórásnégyzet definíciója alapján:

D2(7) = D2(X+Y) = E{[X+Y-E(X+Y)]-} =

= E{[X-E(X) + Y-E(Y)]i} = £{[A-£(3f)]2} +

+ 2E[X-E(X)]E[Y-E(Y)] + E{[Y-E(Y)Y) =

= D°-(X) + D2(Y).

A 2. tétel teljes indukcióval tetszőleges véges számú független valószínűségi változó esetére általánosítható:

Amikor X,,X2, ■■■,X„ független valószínűségi változók, akkor

D-(X1 + X2+...+X„) = D1(X1) + D-(X2)+...+D-( X„). (3.14a)

A valószínűségi változó várható értékének és szórásának ismeretében a valószínűségi változó ingadozását a várható értéke körül jól jellemezhetjük. Ezt fejezi ki a Csebisev-féle egyenlőtlenség.

3. tétel. Csebisev-egyenlőtlenség. Amikor az X valószínűségi változó értéke és szórása létezik, akkor:

P[\X-E(X)\^>.D(X)\e4^. (3.15)

79