Reimann József - V. Nagy Imre: Hidrológiai statisztika (Tankönyvkiadó, Budapest, 1984)

3. Valószínűségeloszlások jellemzői

3.3. A szórás fogalma és tulajdonságai

Mint említettük, a várható érték a valószínűségeloszlásnak csak egyik számszerű jellemzője, amely azt mondja meg, hogy melyik az a (centrális) pont, amely körül a valószínűségi változó értékei ingadoznak; az ingadozás mértékére azonban nem mond semmit. A valószínűségi változó értékeinek a centrális pont körüli szóródását a

D(X) = +t£[X-£(áT)]2 (3.10)

kifejezéssel mérjük. A gyökjel alatt lényegében a valószínűségi változó értékeinek a várható értéktől való négyzetes átlageltérése szerepel. A szórásról akkor beszélhetünk, ha létezik E(X) várható érték, továbbá létezik az {\X—E(X)]2} valószínűségi változó várható értéke.

A valószínűségi változó szórásnégyzete:

D-(X) = E[X-E{X)f.

A szórásnégyzet kiszámítását megkönnyíti az alábbi összefüggés:

Z)2(*) = E[X2-2XE{X) + Ei{X)\ = E(X2) —-2E(X)E(X) + E2(X) = E(X2)-E2(X). (3.11)

A D2(X)>0, ebből következik, hogy

.EX*2) & E2(X).

A szórásnégyzet kiszámítása diszkrét valószínűségi változó esetén:

D\X) = 2 [X^E{X)fPi = Z XfPi—E2(X).

i i

Folytonos valószínűségi változó esetén:

D2(X)= f [X-E(X)]2f(x)dx = f x2f(x)dx-E2(X).

A szórásnégyzet fogalmának segítségével E(X)=m várható érték egy újabb igen fontos tulajdonságát fejezhetjük ki.

Amikor a tetszőleges valós szám, akkor

E[(X-á)2] == E[{X-mfl (3.12)

Ugyanis

E[{X—a)2] = E[(X—m) + (m — a)2] = E[(X—m)2] + 2(m — a)E(X—m) + (m — a)2. Tekintettel arra, hogy E(X—m)=E(X)—m = m—m = 0, ezért

E[(X—a)2\ = E[{X— m)2] + (m — a)2 = D2(X) + (m-a)2 ^ D2(X). (3.12a)

78