Reimann József - V. Nagy Imre: Hidrológiai statisztika (Tankönyvkiadó, Budapest, 1984)

3. Valószínűségeloszlások jellemzői

Folytonos eloszlású valószínűségi változók esetén, ha X és Y együttes sűrűsége h(x, y), akkor a (3.3) összefüggés alapján <p(x, y) = x+y helyettesítéssel:

+ f y( f h(x,y)dx}dy= f xf{x)dx + f уg(y)dy, (3.4)

amiből az állítás leolvasható.

A valószínűségi változók összegének várható értékére vonatkozó tétel teljes indukcióval tetszőleges véges számú összeadandóra általánosítható:

Е(Хг + Х,+ ...+Х^ - ВД) + ВД) + ...+£(А„). (3.4a)

Legyen ugyanis Х=Хг+Х2 + ...+Xn-1, Y = Xn, és tegyük fel, hogy a tétel n— 1 összeadandóra érvényes, azaz igaz, hogy

£(ЛО = ВД)+-+ВД,-г),

akkor a bizonyított tétel alapján következik, hogy

£(Aj + A2+...+3f„_1 + A'„) = E(X+Y) = E(X) + E(Y) =

= "z E(X,) + E(X„) = Í£(A;).

i = l i=l

5. tétel. Független valószínűségi változók szorzatának várható értéke várható értékeik szorzatával egyenlő, azaz ha X és Y független valószínűségi változók, akkor:

E(XY) = E(X)E(Y). (3.5)

A bizonyítást először folytonos eloszlású valószínűségi változókra végezzük el. Az X és Y változók függetlensége miatt együttes sűrűségfüggvényük az egyes változók sűrűségfüggvényeinek szorzatával egyenlő, azaz:

/'(-v, y) =f(x)g(y).

A (3.3) összefüggés alapján <p(x, y)=xy helyettesítéssel:

75