Reimann József - V. Nagy Imre: Hidrológiai statisztika (Tankönyvkiadó, Budapest, 1984)

3. Valószínűségeloszlások jellemzői

Amikor A és Г diszkrét eloszlásúak és P(X=xl)—pi, P(Y=y3) = q,, továbbá együttes eloszlásúak:

P(X = xt, Y = yj) = rtJ,

akkor az A és У változók függetlensége miatt

rij — Pi<lj (i,j = 1,2,...).

Ekkor

Utóbbi tételünk ugyancsak könnyen általánosítható tetszőleges véges számú egymástól független valószínűségi változószorzatok várható értékének kiszámítására. Teljes indukcióval bizonyíthatunk, ugyanúgy, mint az összeg esetében.

Igaz tehát, hogy függetlenség esetén:

E(XxX2 ... X„) = ВД)ВД)... E(X,X (3.5a)

feltéve, hogy az egyes tényezők várható értéke létezik.

3.2. A feltételes várható érték

Legyenek X és Y diszkrét valószínűségi változók az alábbi eloszlásokkal:

Legyen továbbá

P(X = Xi, Y = yj) = rtJ (i, j = 1, 2, ...). (3.5b)

Értelmezhetjük az Y valószínűségi változónak a feltételes várható értékét azon feltétel mellett, hogy az X változó adott xt értéket vett fel:

E(Y\X = х;) - 2 yjP(Y = Yj\X = xX (3.6)

j

Összefüggésünk segítségével az Y változó feltételes várható értékét az X változó minden aktuális értékére — mint feltételre — kiszámíthatjuk. Az így nyert mennyiség értéke attól függ, hogy X melyik xi értéket veszi fel, ez pedig a véletlentől függ. E(Y\X) tehát valószínűségi változó, amelynek lehetséges értékei az

E(Y\X=Xl), E{Y\X = x2), ...,E(Y\X=x,X ....

Könnyű belátni, hogy az E(Y\X) valószínűségi változó az E(Y\X=Xi) értékét éppen pt valószínűséggel veszi fel.

76