Reimann József - V. Nagy Imre: Hidrológiai statisztika (Tankönyvkiadó, Budapest, 1984)
3. Valószínűségeloszlások jellemzői
a E(Y) = Speciális esetként megemlítjük, hogy ha Y=X—E(X), akkor: E{Y) = E{X)-E[E{X)] = E(X)-E(Y) = 0. Definíció. Legyen az Y valószínűségi változó az X valószínűségi változó valamely függvénye, Y=cp(X). Ekkor az Y valószínűségi változó várható értékét diszkrét eloszlás esetén az E(Y) = 2 <P(xk)Pk> к folytonos eloszlás esetén az E(Y) = f q>(x)f(x)dx (3.3) összefüggésekkel definiáljuk, feltéve, hogy az összeg, ill. integrál abszolút konvergens. Analóg módon definiáljuk valószínűségi vektorváltozók függvényének várható értékét. Például folytonos eloszlású valószínűségi változók esetén, ha Y=cp(Xy, X2, ..., X„) és az X1,X2, ■■■,Xn valószínűségi változók együttes sűrűségfüggvénye h(x1, x2, ..., x„), akkor: E(Y) = f - f <p (xx, x2,x„) h {Xy, x2,... x„) dxy dx2... dx„, amennyiben az improprius integrál abszolút konvergens. 4. tétel. Legyenek X és Y tetszőleges eloszlású valószínűségi változók, amelyeknek várható értékei léteznek. Ekkor E(X+Y) - E(X) + E(Y). A bizonyítást először diszkrét eloszlású változók esetére mutatjuk be. Legyenek X lehetséges értékei az xl5 ..., x„, ... számok, Y lehetséges értékei az yx, ... számok. Legyen továbbá P(X = Xi) = pi, P(Y = yj) = cjj, P(X = xi, Y = yj) = ríj, itt tehát az rtJ valószínűségek az (X, Y) változópár együttes eloszlását adják meg. A várható érték definíciója alapján E(X+Y) = 2 2 (xi+yj)rij = 22 *irij+2 2 yjru = i j i j i j = 2 XÁ2 ru) +2 yj(2 ni)i j j I Ekkor 2rij = Pi, 2 rij ='.4j- Tehát: E{X+Y) = 2 xíPí +2 Yjdjj i i j 74
