Reimann József - V. Nagy Imre: Hidrológiai statisztika (Tankönyvkiadó, Budapest, 1984)

3. Valószínűségeloszlások jellemzői

Bizonyítás: amikor X diszkrét valószínűségi változó xx, x2, • ■ •, x„, ... lehetséges értékkel, és az egyes értékeit rendre px, p2, ... valószínűségekkel veszi fel,

akkor, mivel az Xx, X2, ..., X„, ... értékek mindegyike az a és b határok közé esik:

a — ap1 + ap2 +... ^ Xipx + x.,p2+... ~ bpx + bp2+...,

azaz

a = a 2 Pi — 2 xíPí ^ b 2 Pi = b.

Amikor X folytonos eloszlású, akkor

a = a J f(x)clx — J cif(x)dx ^ J xf(x)clx =

^ J bf (x)dx = b j f(x)dx = b.

Megjegyezzük, hogy a^áX^b esetén

b

J f(x)dx = I.

a

3. tétel. Amikor Y=aX+b, azaz az Y valószínűségi változó az X valószínűségi változónak lineáris függvénye, akkor:

E(Y) = E(aX+b) = aE(X) + b.

Bizonyítás: amikor X diszkrét eloszlású xx, x2, ... lehetséges értékekkel, amelyeket rendre px, p2, ... valószínűségekkel vesz fel, akkor az Y valószínűségi változó lehetséges értékei az axx + b, ax2 + b, ... számok, amelyeket ugyancsak rendre px, p2, ... valószínűségekkel vesz fel, tehát:

E(Y) = 2 (axk + b)pk = a 2 xkpk + b 2 Pk = aE(X) + b,

k

feltéve természetesen, hogy a 2xklh sor konvergens, azaz |A|-nek létezik várható

k

értéke. Amikor X folytonos eloszlású f(x) sűrűségfüggvénnyel, akkor X=x esetén Y=ax + b, és Y sűrűségfüggvénye a (2,16) összefüggés alapján:

és

E(Y) = j yg(y)dy = y{_[

y — b------= u helyettesítéssel

a

7

3