Reimann József - V. Nagy Imre: Hidrológiai statisztika (Tankönyvkiadó, Budapest, 1984)
3. Valószínűségeloszlások jellemzői
3.1. A várható érték fogalma és tulajdonságai Valamely valószínűségeloszlás várható értékének vagy centrumának kiszámítása a tömegeloszlás súlypontjának kiszámításával analóg. Legyen X diszkrét eloszlású valószínűségi változó, amelynek lehetséges értékeit jelöljük az xk, x2, ..., xn számokkal, és legyen P{X=xk) = pk (k= 1,2,...). Ekkor az X valószínűségi változó várható értékén, amelyet L(V)-szel jelölünk, a következő' kifejezést értjük: E(X) = 2xkPk, (3.1) k amennyiben a 2\xk\Pk összeg véges érték, azaz ha az |JT|-nek is létezik a várható k értéke. Tekintettel arra, hogy láthatjuk, hogy diszkrét eloszlású X valószínűségi k változó várható értéke az X lehetséges értékeinek súlyozott számtani középarányosa, ahol a súlyok az egyes értékekhez tartozó valószínűségek. Amikor X folytonos eloszlású valószínűségi változó f(x) sűrűségfüggvénnyel, akkor X várható értékét a folytonos tömegeloszlás súlypontjának analógiájára az E(X) = f xf(x)dx (3.2) kifejezés értelmezi, feltéve, hogy az improprius integrál abszolút konvergens, azaz J \x\f(x)dx < -foe. A várható érték néhány fontos tulajdonságát fejezik ki az alábbi tételek. 1. tétel. Egy állandó várható értéke önmaga: E(c) = c. Bizonyítás: A c állandó olyan valószínűségi változónak tekinthető, amely az egyetlen c értéket 1 valószínűséggel veszi fel, tehát a várható érték definíciója alapján: E(c) = c • 1 = c. 2. tétel. Amikor X korlátos valószínűségi változó, azaz a^X^b, akkor létezik a várható értéke, és a S E(X) =§ b. 72
