Reimann József - V. Nagy Imre: Hidrológiai statisztika (Tankönyvkiadó, Budapest, 1984)

2. Valószínűségi változók és valószínűségeloszlások

A megfelelő feltételes sűrűségfüggvény:

ahol az (n — k) változós g függvény az Xk+1, Xk+2, ..., Xn változók együttes sűrűség- függvényét jelöli.

A többdimenziós feltételes sűrűségek fontos szerepet játszanak a regresszióanalízisben.

Több valószínűségi változó együttes eloszlásának ismeretében most egy igen fontos fogalmat, a valószínűségi változók függetlenségét értelmezzük.

Az Xk, X2, X„ valószínűségi változókat teljesen függetleneknek nevezzük akkor, ha tetszőleges я,•</>,., /=1,2,...,« számok esetén

P(ak X, < bk, a2 55 X2 < b2, ..., an = X„ - b„) =

= P(ak S Xx < Ь,)Р(я2 = X* < b2)... P(an ^ < b„).

Speciálisan a~—°°, bi=Xi választással

P(Xx < x1; X2 < x2, ..., Aj, < x„) = P(Xj < XjjPjAa < x2)... P(X„ < x„),

azaz

H{x1,x2, x„) = F1(x1)F2(x2) ... F„(x„).

Tehát « számú valószínűségi változót akkor nevezünk teljesen függetlennek, ha együttes eloszlásfüggvényük az egyes változók eloszlásfüggvényeinek szorzatával egyenlő. Amikor a változók folytonosak és együttes eloszlásuk is folytonos, akkor a függetlenségből következik, hogy együttes sűrűségfüggvényük is az egyes változók sűrűségfüggvényeinek szorzata:

h (x1, x,, ..., x„) = f (Xj)/, (x2) .../„(x„).

A függetlenség fogalma számunkra azért is különös fontosságú, mert a matematikai statisztika jól kidolgozott módszerei nagyobb részben független valószínűségi változókra vonatkoznak. A nem független valószínűségi változókra vonatkozó statisztikai módszerek kidolgozása egyike a matematikai statisztika alapvető feladatainak, amely irányban jelenleg is intenzív kutatások folynak.

A hidrológiában a függőség esete gyakran előfordul. így a változókat két vagy több csoportba osztjuk oly módon, hogy az egyes csoportokon belüli változók egymástól függetlenek, azonban a csoportok változói már kölcsönösen függenek egymástól. Például a csapadék és lefolyás kapcsolatának vizsgálatánál a vízgyűjtő geometriai

66