Reimann József - V. Nagy Imre: Hidrológiai statisztika (Tankönyvkiadó, Budapest, 1984)

2. Valószínűségi változók és valószínűségeloszlások

Néhány feltételes valószínűség:

A hidrológiában a feltételes eloszlások fogalmát igen gyakran használják. Például ilyen probléma vetődik fel akkor, amikor a csapadékos vagy csapadékmentes napokat egy adott csapadékmérő állomáson azzal a feltétellel vizsgáljuk, hogy attól meghatározott távolságban fekvő másik állomáson volt-e eső vagy sem. Ugyancsak feltételes eloszlásokat tekintünk az előrejelzések esetében is.

A hidrológiai statisztikában szükségünk lehet kettőnél több dimenziós valószínűségi vektorváltozók vizsgálatára. Amikor Xj,X2, ..-,Xn valamely véletlen mennyiségre vonatkozó n számú mérés vagy megfigyelés eredménye, akkor ezeket a változókat egy X = (A1? X2, ..., X„) n dimenziós véletlen vektor komponenseinek tekintjük. Az X most az n dimenziós tér véletlen helyzetű pontja. Az X vektor eloszlásán Xx, X2, ..., X„ változók együttes eloszlását értjük. Vizsgáljuk azt az esetet, amikor a szóban forgó valószínűségi változók folytonos eloszlásúak. Az X1,X2,...,Xn valószínűségi változók együttes eloszlását a

n dimenziós sűrűségfüggvény segítségével jellemezhetjük. Az n számú valószínűségi változó együttes eloszlásfüggvénye tehát az {А;<л;}, /= 1, 2, ..., n n számú esemény egyidejű bekövetkezésének valószínűségét adja meg.

Az n dimenziós H(xt, x2, ■■■, x„) eloszlásfüggvény az n változójának monoton nem csökkenő függvénye, és minden változójában balról folytonos. H(x1,x2, ...,x„)=0, ha bármely változója helyébe — °°-t írunk [ha ugyanis xt helyébe — °o-t írunk, akkor az {Aj< — 00} eseménynek is be kellene következnie — ami viszont lehetetlen esemény—, továbbá ..., +°°)=1. H értéke tehát csak akkor 1, ha mindegyik változója helyébe +°°-t írunk].

Annak valószínűsége, hogy az X, n dimenziós véletlen vektor végpontja az n dimenziós tér egy előírt téglájába essék, azaz a

64

n dimenziós eloszlásfüggvény vagy — ha létezik — a