Reimann József - V. Nagy Imre: Hidrológiai statisztika (Tankönyvkiadó, Budapest, 1984)

2. Valószínűségi változók és valószínűségeloszlások

X, mind Y folytonos eloszlásúak f(x), ill. g(y) sűrűségfüggvénnyel és a Z = (X, Y) véletlen vektor folytonos síkbeli eloszlású. Ebben az esetben, a folytonos tömegeloszlás analógiájára az (л:, у) pontbeli valószínűség sűrűségét egy kétváltozós h(x, y) függvény segítségével adjuk meg, amelynek geometriai képe egy kétváltozós felület (2.8. ábra). Amikor létezik olyan kétváltozós h (x, y) függvény, amelyre h (x, у) & 0,

továbbá f f h(x, y)dxdy—\, akkor

h(x, y) kétváltozós sűrűségfüggvény, és ekkor annak valószínűségét, hogy az (X, У) véletlen számpár a sík egy adott T tartományába esik, a h(x, y) függvénynek tegrálja szolgáltatja:

a T tartományra számított kettős inAmikor a tartomány az (A<x, Y<y) síknegyed, akkor

tehát a kétváltozós eloszlásfüggvényhez jutunk.

Fennáll tehát a következő összefüggés a kétváltozós eloszlásfüggvény és a sűrűség- függvény között:

h (x, y)

<)~H (x, y)

dxdy

Tehát a kétváltozós sűrűségfüggvény (ha létezik) a kétváltozós eloszlásfüggvény vegyes parciális deriváltja.

A h(x, y) kétváltozós sűrűségfüggvény ismeretében meghatározhatjuk X, ill. Y változók perem-eloszlásfüggvényeit, ill. a peremsűrűségeket az alábbi összefüggések alanián:

61