Reimann József - V. Nagy Imre: Hidrológiai statisztika (Tankönyvkiadó, Budapest, 1984)

2. Valószínűségi változók és valószínűségeloszlások

elemi események halmaza, sí az Q bizonyos A részhalmazainak halmaza, mégpedig Afsí, ha az A halmaz P(A) valószínűsége értelmezve van.

Egy X valószínűségi változó az Í2 eseménytéren definiált mérhető' függvény: X= = X(m). A mérhetőségen azt értjük, hogy minden {to: X(co)^x) halmaz eleme sí-nak, vagyis /^{to: AXco)<x} definiálva van. Az {to: A'(co)<.y} halmazokat az A' valószínűségi változó nívóhalmazainak nevezzük.

2.1.2. A többdimenziós eloszlás fogalma

Sok esetben valamely jelenséggel kapcsolatban két vagy több valószínűségi változót egyidejűleg vizsgálunk. Amikor pl. azt kell tudnunk, hogyan függ a Duna vízállásától valamely partmenti területen a talajvízállás, akkor a Duna vízállását A'-szel, a talajvízállást 7-nal jelölve vizsgáljuk az (A", 7) valószínűségi változópár vagy másként nevezve a Z = (X, 7) véletlen vektor eloszlását, mert ez szolgál kiindulási alapként az összefüggés felderítésére.

A többdimenziós eloszlások jellegzetes esetei pl. a lefolyás és a vízgyűjtő több csapadékmérő állomásán egyidejűleg észlelt csapadék-idősorok közös vizsgálata vagy a lefolyás, hóolvadás, léghőmérséklet, kémiai összetétel stb. együttes vizsgálata.

Amikor egyidejűleg valamely folyó vízállását, a lehullott csapadék mennyiségét és a talajvízállást vesszük szemügyre, akkor beszélhetünk az

X = (AT, X2X3)

véletlen vektor eloszlásáról, amelyet az Ar1, X2 és Aj, valószínűségi változók együttes eloszlásának is neveznek.

Amikor egy X mennyiségre vonatkozó n számú mérést végzünk, amelynek eredményei az A\, X2, ..., X„ véletlen mennyiségek, akkor vizsgálhatjuk ezen mérési eredmények együttes eloszlását, azaz az X = (X1,Xi, ...,A'„) véletlen vektor vagy valószínűségi vektorváltozó eloszlását. Még gyakoribb, hogy az (Xx, X2, ..., X„) véletlen vektor helyett egy 7=/(A1, X2, ..., X„) függvényének eloszlása érdekel bennünket, ahol f(x) egy n változós függvény. A matematikai statisztika legfontosabb területein: a becsléselméletben és a statisztikai hipotézisek vizsgálatánál ilyen típusú, véletlen argumentumú függvények eloszlása elsődleges fontosságú.

Foglalkozzunk először a kétdimenziós véletlen vektorok eloszlásával. Legyenek X és Y valószínűségi változók, és tekintsük az (A", 7) véletlen pont síkbeli eloszlását.

Jelöljük P(ax^X<a2, bxSY <b2)-\e\ annak valószínűségét, hogy a véletlen pont, vagyis a Z={A', 7} véletlen vektor a fent szereplő számokkal megjelölt téglalapba esik. Amikor ismerjük ezt a valószínűséget minden ax, a2, bx, b2 szám esetére, akkor azt mondjuk, hogy ismerjük X és Y valószínűségi változók együttes eloszlását.

59