Reimann József - V. Nagy Imre: Hidrológiai statisztika (Tankönyvkiadó, Budapest, 1984)

2. Valószínűségi változók és valószínűségeloszlások

napon hány milliméter csapadék hullott; ekkor a kísérlet kimenetele ugyancsak egy számsorozat, amely 31 darab nemnegatív számból áll. Meglehetősen önkényes tehát, hogy mit tekintünk kísérletnek és elemi eseménynek. Éppen ezért minden kísérlettel kapcsolatban megmondjuk, hogy mit értünk elemi eseményen, és mit az összes elemi események halmazán az „eseménytéren”.

Amikor kísérletünk egy adott árhullám megfigyeléséből áll, akkor a kísérlet kimenetele —■ egy elemi esemény — még bonyolultabban írható le. Érdekelhet bennünket a tetőzési érték, az árhullám időtartama, az áradási és apadási időtartam, adott időpontokban mért vízhozamok stb., de még igen sok mennyiség van, ami az adott árhullámot egészében meghatározza. Tegyük fel, hogy az árhullám jellemezhető megszámlálható (végtelen) sok £1; <;2, ... mennyiség segítségével. Ezek a mennyiségek egy végtelen

to = (Él, É2, •••, Én, •■•)

vektort képeznek, amelyet a kísérlet kimenetelének vagy elemi eseménynek tekintenek a valószínűségszámítás Kolmogorov-féle elméletében.

A kísérlet végrehajtásakor tehát a fenti típusú „eredményre” jutunk.

Az összes lehetséges co elemi események halmazát fi-val jelöljük és eseménytérnek nevezzük. Az fi eseménytér egy A részhalmazát eseménynek tekintjük akkor, ha minden kísérletnél meg tudjuk állapítani, hogy A bekövetkezett-e vagy sem. (Vagyis, hogy A vagy Ä következett be.) Az összes A események halmazát sf-val jelöljük.

Amikor az árhullám megfigyelésekor adott to = (iJ1, {2> ..., ...) elemi esemény

bekövetkezik, akkor az árhullám összes olyan jellemző ismérve, mint az X tetőzési érték, az Y időtartam, a Z maximális vízhozam stb. egyértelműen determinálva van or által. Más szóval, az árhullámot jellemző valószínűségi változók az co elemi esemény függvényei:

X = X(ui), Y - Y(co), Z = Z(a>).

Az elemi esemény Kolmogorov-féle értelmezése tehát lehetővé teszi, hogy ugyanazon fi eseménytéren egyidejűleg több valószínűségi változót tekintsünk. Amikor az árhullámokkal kapcsolatban csak X(w) tetőzési érték érdekel bennünket és X(oj) = .v, akkor ez az x érték természetesen több árhullám esetén is felléphet, azaz az x eredmény nemcsak egyetlen co-hoz tartozhat, hanem az elemi események bizonyos halmazához {co: X(co)=x}. Tehát az fi eseménytér egy részhalmaza megfelel azon Jí eseménytér egyetlen pontjának, amely az X folytonos valószínűségi változó összes lehetséges értékeinek halmaza. Tehát X=x elemi esemény Jí-ben, de összetett esemény fi-ban. Az {T<.v} esemény összetett esemény Jí-ben és ugyancsak összetett esemény fi-ban {co: X(o))<x}. Az Jí tér tehát már redukált formája az fi térnek: az Jí teret mintatérnek nevezzük, és ennek pontjai megfigyelésünk eredményei.

A valószínűségszámítás Kolmogorov-féle elméletében alapvető szerepet játszik az {fi, sí, P) szimbólumhármas, amelyet valószínűségi térnek nevezünk. Itt fi az co

58