Reimann József - V. Nagy Imre: Hidrológiai statisztika (Tankönyvkiadó, Budapest, 1984)
2. Valószínűségi változók és valószínűségeloszlások
nek nevezzük. Az F(x) eloszlásfüggvény értéke tetszőleges valós x esetén megadja annak valószínűségét, hogy a mérések végrehajtása során X megfigyelt értékét x-nél kisebbnek találjuk (2.4. ábra). Vízhozamok vizsgálatánál általában az a kérdés, hogy mi a valószínűsége egy adott (x) értéknél nagyobb vízhozam előfordulásának. Ezért néha szokásos az eloszlásfüggvényt a P(Q ~ x) = F*(x) alakban is felírni, amelyre nyilvánvalóan F(x) = l — F* (x). Vegyük szemügyre az F(x) eloszlásfüggvény tulajdonságait. 1. Az F(x) eloszlásfüggvény értéke mindig 0 és 1 közé esik, mivel F(x) valószínűséget fejez ki, tehát az {X<x} esemény valószínűségét: 0 S F(x) 1. 2. Az F(x) eloszlásfüggvény az x mennyiség monoton nem csökkenő függvénye, azaz b>a esetén F(b)^F(a). E tulajdonság teljesülését könnyű belátni, mivel b>a esetén az {X<b} esemény mindig bekövetkezik, ha az {A<a} esemény bekövetkezik, de az {X<b} esemény még akkor is bekövetkezik, ha a^X<b, tehát: {X<b}= {A<ű}U{u SX<b}. Itt a jobb oldalon egymást kizáró események állnak, ezért a IIE axióma alapján P{X < b) = P(X <a) + P(ci ^X<b), azaz F(b) = F(a)+P(a == X < b). Az utóbbi összefüggésből: P(a ^ X < b) = F(b)— F(a). Ez az összefüggés mutatja, hogy F(x) értékeinek ismeretében tetszőleges (a, b) intervallum esetén meg tudjuk mondani annak valószínűségét, hogy X értéke az {a, b) intervallumba esik (2.5. ábra). Bemutatunk egy példát, amely jól érzékelteti, hogy mennyire természetes tulajdonsága az F(x) eloszlásfüggvénynek a monoton nem csökkenő jelleg. Tegyük fel, hogy mérjük egy folyóvízállását adott szelvényben. A vízállás nagysága legyen az X valószínűségi változó. Legyen a=5 m, b = l m. Az {X<a} esemény akkor következik be, amikor a vízállás alacsonyabb, mint 5 m. Az {T<5} eseményből következik az {A<7} esemény bekövetkezése is, de ez utóbbi esemény még akkor is bekövetkezik, ha a vízállás 5 m és 7 m közé esik. Könnyű belátni, hogy az {5sT<7} esemény 55
