Reimann József - V. Nagy Imre: Hidrológiai statisztika (Tankönyvkiadó, Budapest, 1984)

1. Valószínűségszámítási alapfogalmak

AB

ВС ABC

1.14. ábra

Az Ay, A2, ..., An eseményeket teljesen függetleneknek vagy röviden függetleneknek nevezzük akkor, ha a

P^AjAj) = P(Ai)P(Aj), /<=j;

P(A,AjAk) = P(AjP(Aj)P(Ak\ i < j < kP(A,A2 ...A„) = P(AX)P(A2) ... P(A„)

relációk teljesülnek. Ezek a relációk

GMíK-G)

= 2" — n— 1

feltétel teljesülését követelik meg. Ugyanis a binomiális tétel alapján:

f/ij

(1 + 1)"= z , =2",

k=OSKJ

1,

Kimutatható, hogy ha az A 1? Л2, • A események függetlenek, akkor ezek bármelyikét (vagy akár mindegyiket) az ellentétével, /4,-sal helyettesítve ugyancsak független eseményrendszert kapunk. Az (1.5) formulával kifejezett szorzási szabály általánosítható n eseményre. Az általános szorzási szabály a következő': amikor Аг, А», ..., A„ tetszőleges események, akkor

P(AyAt... A„) = P(An\AlA2 ... An_y)PIAn^\AyA2 ... Á„.2) ... P(A2\Ay)P(Ak).

Itt feltételezzük, hogy a vonások mögött álló vagy feltételként szereplő esemény- sorozatok valószínűségei pozitívak.

A tétel bizonyítása triviális:

P(A,A,... A„.,A„) = Р(Ап\АуАо ... An.x)P(AxA2 ... An_x\

P(A1A2... Л„-х) = P(An„y\AxA2... An.2)P!A1A2... An.2),

P(AyA2) = P(A.,\At) P(A,).

41