Reimann József - V. Nagy Imre: Hidrológiai statisztika (Tankönyvkiadó, Budapest, 1984)
1. Valószínűségszámítási alapfogalmak
Az események függetlenségén kívül használjuk még a kísérletek függetlenségének fogalmát, ami egy kicsit általánosabb, mint az események függetlensége. Két kísérletet (mérést) akkor tekinthetünk függetlennek, ha kimeneteleik nincsenek egymásra semmiféle hatással. Ez azt jelenti, hogy az egyik kísérletnél bekövetkező bármely esemény független a másiknál bekövetkező bármely eseménytől. Például többször ismételt kockadobás, érmedobás stb. független kísérletek sorozatát képezik. Ugyanúgy független kísérletsorozatról lehet akkor is szó, ha a műtárgy vízszállítását többször egymás után meghatározzuk. Vezessünk be egy fontos összefüggést, amelyet a teljes valószínűség léteiének neveznek, s amelyre a továbbiakban többször is hivatkozunk. Alkossanak a Bt, B2, ..., B„ események teljes esemény rendszert, azaz legyen Bl + + B2+... +B, = ! és BjBj = Q, ha iVy. Ez azt jelenti, hogy megfigyelésünk során a események közül egy és csakis egy feltétlenül bekövetkezik. Legyen most A egy tetszőleges esemény, amely a Bl7 B2, ..., Bn események mindegyikétől különbözik. Ekkor P{A) = P(A ■ I) = P[(B, + B2 +...+£„)] = P(AB1 + AB2+...+ABn). 1.15. ábra Az (1.5) formula alapján Itt a zárójelen belüli összeadandók ugyancsak egymást kizáró események, ezért (1.15. ábra): P(Á) = P{ABí) + P(ABj)+... + P{ABj. Ugyanis, ha Bt és Bj diszjunkt halmazok, akkor A B{ c_ Bt, ABjCzBj mint részhalmazok ugyancsak diszjunktak, és mint események kizárják egymást. P(ABt) = P{A\Bj)P{Bj), tehát P(A) - P(A\Bl)P(B1) + ... + P(A\B„)P(Bn) = 2 P{A\Bj)P{Bj). (1.8) j=i Az (1.8) összefüggést a teljes valószínűségek tételének nevezzük. Amikor ismerjük az A eseménynek mindegyik Bj eseményre vonatkozó feltételes valószínűségét és a Bj események valószínűségét, akkor kiszámíthatjuk valamely Bj eseménynek az A eseményre vonatkozó feltételes valószínűségét. Az (1.7) összefüggés alapján: PiB^A) P(ABi) P(A) P(A\B,)P(B:) P(A) (1.9) 42
