Reimann József - V. Nagy Imre: Hidrológiai statisztika (Tankönyvkiadó, Budapest, 1984)

5. A matematikai statisztika és annak hidrológiai alkalmazásai

A Glivenko-tételt nagy jelentősége miatt a matematikai statisztika alaptételének is nevezik. A gyakorlat számára az a tény, hogy az F„(x) és F(x) közötti maximális eltérés zérushoz konvergál azt jelenti, hogy elég nagy n esetén az l'(x) eloszlásfügg- vényű x valószínűségi változóra vonatkozó események valószínűségei F„(x) segítségével közelítőleg meghatározhatók.

Az F„(,v) és F(x) közötti maximális eltérés zérushoz való konvergenciájának sebességét Kolmogorov és Szmirnov tételei fejezik ki [36], amelyekkel az 5.8.5. pontban ismerkedünk meg.

Amikor a valószínűségi változó diszkrét és az xt, .v2, ...,x„ értékeket veheti fel rendre pl, pt, ■■.,pn (ismeretlen) valószínűségekkel, akkor ha az n nagyságú mintában az Xj értéket v,-szer tapasztaltuk, a pi = P{X=xi) valószínűséget a vjn relatív gyakoriság közelíti.

5.6. A legfontosabb empirikus jellemzők

A hidrológiai statisztikai számítások során a statisztikai sokaság paramétereit nagyobb elemszámú (/?>30) minták esetén a következő módokon határozzuk meg.

5.6.1. A mintaközép

A mintaelemek számtani közepe, az

— _ X1 + X2 +... + Xn n

(5.10)

mintaközép egyike a legfontosabb és a gyakorlatban legtöbbször használt statisztikáknak.

A mintaközép mint valószínűségi változó az E(X)=m elméleti várható érték körül ingadozik. Emlékeztetjük az olvasót, hogy ha X eloszlásfüggvénye F(x), akkor E(X) értékét az

E(X) = j xclF(x)

összefüggés szerint számítjuk. Minthogy F(x)-et nem ismerjük, de a (JI) rendezett mintából az l„(x) empirikus eloszlásfüggvényt meghatározhatjuk, ezért a Glivenko- tétel alapján elég nagy n-re következik, hogy

E(X) % f xclFn(.v) = 2 X * - = Z XJn =X. (5.11)

J i-i n it

187