Reimann József - V. Nagy Imre: Hidrológiai statisztika (Tankönyvkiadó, Budapest, 1984)

5. A matematikai statisztika és annak hidrológiai alkalmazásai

Tudjuk, hogy a gyakoriság olyan binomiális eloszlást követ, amelynek paraméterei az n megfigyelésszám és az {X< x} esemény valószínűsége, amely a mondottak szerint F(x). Éppen ezért

Továbbá:

(5.4)

(5.5)

(5.6)

Kérdés, hogy rögzített n esetén kb. mekkora az eltérés az F„(x) empirikus eloszlásfüggvény és az F(x) elméleti eloszlásfüggvény között.

A Csebisev-egyenlőtlenség alapján:

Az F(x)[l — F(x)]^-^j-, ezért ebből következik, hogy nagy valószínűséggel az

eltérés abszolút értéke l/Уп nagyságrendű tetszőleges x-re, amiből az is következik, hogy n növekedésével az eltérés zérushoz konvergál. Amikor n -egyrészt F„(x) ugrásai egyre kisebbek, másrészt /■„(x) alig tér el F(x)-től (5.3. ábra).

Ezt a tényt fejezi ki Glivenko-tétele. Ez azt mondja ki, hogy n növekedésével az F,,(x) empirikus eloszlásfüggvény az egész számegyenesen egyenletesen konvergál az elméleti eloszlásfüggvényhez. Pontosabb fogalmazással, ha

D„= sup |F„(x)-F(x)l, (5.8)

— со <x <oo

akkor

P(lim D„ = 0) = 1. (5.9)

186