Reimann József - V. Nagy Imre: Hidrológiai statisztika (Tankönyvkiadó, Budapest, 1984)

4. A fontosabb valószínűségeloszlások áttekintése

Vegyük most figyelembe a karakterisztikus függvényekre vonatkozó ún. folytonos- sági tételt, amely szerint, ha két eloszlás karakterisztikus függvényei kevéssel különböznek egymástól, akkor az eloszlásfüggvények is csak kevéssel különböznek egymástól.

A tétel következő megfogalmazása nem köti ki, hogy az összeadandók azonos eloszlásúnk legyenek, de feltételezi azok harmadik abszolút momentumainak létezését.

A Laplace—Ljapunov-tétel. Amikor Aj, Aj, ..., X„ olyan független valószínűségi változók, amelyeknek harmadik és következőleg alacsonyabb rendű momentumai léteznek, E(Xk) = 0 (k = 1,2, .... n), továbbá

Um 2 ßJS?, = 0,

i

ahol

akkor

,/T

lim P

ßk = £(m, S„ = ]/ 2 «í, *í = r>nxk),

,X1 + X,+ ...+X. 11 rc ,,cllr

V S» ) | 2n

(4.67)

A centrális határeloszlás tétele igen nagy gyakorlati jelentőségű. Egyrészt, ha a tétel feltételei teljesülnek (legalábbis jó közelítéssel), akkor az jogossá teszi azt a feltételezést, hogy normális eloszlásról van szó, amelyet a megfigyelési adatok alapján a matematikai statisztika módszereivel ellenőrizni tudunk. Másrészt a matematikai statisztikában szereplő ún. statisztikai függvényekben az esetek nagy részében független valószínűségi változók összege szerepel, és nagyszámú megfigyelés esetén a statisztikai függvények mint valószínűségi változók ugyancsak normális eloszlásúak. Tehát a normális eloszlás sajátságai és a normális eloszlás függvénytáblázata a statisztikai döntések során alapvető segédeszközünk lehet.

A centrális határeloszlás tételének hidrológiai szempontból elsősorban az alábbi vonatkozásai említendők meg:

1. vizsgáljuk, hogy a hidrológiai változók milyen típusú függőségei esetén marad még érvényes a tétel;

2. keressük, hogy az ugyanazon /•'(Aj) eloszlású függő és független változók összegeinek eloszlásai milyen gyorsan konvergálnak a normális eloszláshoz;

3. meghatározzuk, hogy milyen gyors lesz a konvergencia akkor, ha az egymástól függő és független Aj változók / (Aj) eloszlásfüggvényei különbözők.

A fenti problémák megoldásához vezető eljárások módját [12] esettanulmány formájában vázoljuk, azonban ezt megelőzően példákat mutatunk be a relatív gyakoriság és a valószínűség közötti eltérések, valamint az adott feltételek melletti adatszám meghatározására.

173