Reimann József - V. Nagy Imre: Hidrológiai statisztika (Tankönyvkiadó, Budapest, 1984)

4. A fontosabb valószínűségeloszlások áttekintése

vény segítségével könnyen származtathatjuk az n szabadságfokú ^-eloszlás momentumait. A várható érték, illetve a szórásnégyzet kiszámításához elegendő tekintetbe venni, hogy

9x(0) = í~[l-2f0"7“1]-(-20} = in,

k z J, = 0

<Px(0) = -y[-(y+1)] {[l-2iír“S},.0 = r(n2 + 2n).

Ezek alapján a (3.26) és (3.27) összefüggések figyelembevételével

E{X) = n, Di(X)= -n2 + n2 + 2n = 2n. (4.51)

Ugyancsak a karakterisztikus függvény felhasználásával igazolható a ^-eloszlás ún. additív tulajdonsága, amely abból áll, hogy két független ^-eloszlású valószínűségi változó összege ugyancsak ^-eloszlású. Amikor ugyanis Aj n1 szabadságfokú és /2-eloszlású, és X2 n2 szabadságfokú, ^-eloszlású, és Aj és Aj, függetlenek, akkor az X=Aj + X., összeg karakterisztikus függvénye a megfelelő karakterisztikus függvények szorzata, tehát a (3.23) kapcsolatot figyelembe véve:

/íj n2 /íj + /j2

<Px(t) = <PXí(f)-<Px%(f) = (l-2/7)'~(l-2/7)~~ = (1-2/7) ~,

tehát az X változó ugyancsak ^-eloszlású nx + n2 szabadságfokkal.

154