Reimann József - V. Nagy Imre: Hidrológiai statisztika (Tankönyvkiadó, Budapest, 1984)

4. A fontosabb valószínűségeloszlások áttekintése

4.2.2A. A X2-eloszlás

A ^-eloszlást igen gyakran alkalmazzuk a statisztikai gyakorlatban. Amennyiben a (4.38) összefüggéssel megadott sűrűségfüggvényben a= 1/2 és p—nj2 paraméterértékeket helyettesítünk, akkor az ún. ^-eloszlás sűrűségfüggvényét kapjuk, azaz

k

n

1

2’

1

2n/2r(n/2)

n x

(x > 0).

(4.47)

A fenti eloszlással kapcsolatosan megjegyezzük, hogy a független, normális eloszlású valószínűségi változók négyzetösszege ^-eloszlást követ. Amikor Xx, X2, ..., X„ független N(0, 1) standard normális eloszlású valószínűségi változók és

X = Xf+XS+...+ X2, (4.48)

akkor az X változó sűrűségfüggvénye az (4.47) összefüggéssel megadott függvény.

Vizsgáljuk meg először az egyes összeadandók eloszlását. Amikor X, N(0, 1) normális eloszlású és Y = X2, akkor Y eloszlásfüggvénye:

G(.v) = P(Y < x) = P{X- < x) = P(- ix X < ^.v) = 2<f>0/x)-l. (4.49)

Az Y változó sűrűségfüggvénye

1

g(x) = 2<P'(Vx)

1 t»/*

2/x ^2nx

T(1/2)-M2„-x/2

(4.49«)

Tehát az Y = X2 valószínűségi változó a = 1/2, p= 1/2 paraméterű gamma-eloszlás. Az Y változó karakterisztikus függvénye a (4.43) összefüggés alapján:

<Py(>)

1

(1 - 2i7)1/2 '

Tekintettel arra, hogy az (4.48) összegben szereplő mindegyik Xf (i= 1,2,...,«) valószínűségi változó eloszlása megegyezik az Y változó eloszlásával, így az X változó karakterisztikus függvénye

<Px(»

11 <Px?(‘) = 1 = 1

(I — 2i7)1/2 J

1

(1 — 2/0"/- '

(4.50)

A (4.50) egyenlőséget összehasonlítva a (4.43) függvénnyel, láthatjuk, hogy ez utóbbi függvény az a =1/2, p=\/2 paraméterű gamma-eloszlás karakterisztikus függvénye, vagyis X sűrűségfüggvénye a (4.47) összefüggéssel megadott függvény, amelynek alakját n=l,n=2és n = 6 esetében a 4.12. ábra szemlélteti.

A (4.47) összefüggéssel kifejezett kn(x) sűrűségfüggvényt — amelyet n darab független N(0, 1) eloszlású valószínűségi változó négyzetösszegének eloszlásaként nyertünk — szokás n szabadságfokú ^-eloszlásnak is nevezni. A (4.50) karakterisztikus függ153