Reimann József - Tóth Julianna: Valószínűségszámítás és matematikai statisztika (Tankönyvkiadó, Budapest, 1989)
I. rész. Valószínűségszámítás - 5. Nevezetes valószínűségeloszlások
Definíció. A £, valószínűségi változót X paraméterű {X > 0) Poisson-eloszlásúnak nevezzük, ha a £ lehetséges értékei a nemnegatív egész számok és P{^ = k) = ~e-l (k = 0,1,2,...). k\ Bizonyítsuk be, hogy az adott valószínűségek valóban eloszlást adnak meg! Látható, hogy a {£ = k) események kizárják egymást és a valószínűségük pozitív. Igazoljuk még azt, hogy az adott valószínűségek összege 1. I />({ = <=) = £ -e k = 0 k = 0 K-X = p-X 00 I t=o k\ x 00 xk Tudjuk, hogy az ex Maclaurin-sora V* e R esetén e* = 1 + — + — = Y — 1! 2! ki k = o k\ Ebből x = X-ra az előbbiekben kapott sor adódik. Tehát 00 X P(Z = k) = = 1. k = 0 A Poisson-eloszlású £, várható értéke a definíció szerint (a £ lehetséges értékeinek a bekövetkezési valószínűségükkel súlyozott közepe): 00 tA 00 ifc 00 1 00 2n M©- y k^-e-k = k~ = 77—r^~ I A n = 0 fc = o *=i (A 1)! Az ex Maclaurin-sorát felhasználva = Xe~V = 2. Tehát a Poisson-eloszlású valószínűségi változó várható értéke a X paraméter. A q szórásnégyzete: D\0 = M(e)-X2. oo ifc oo * oo fc = o k\ k=i ki * = i (k 1)! = Xe~* X (A:— 1 + 1) k- 1 k = 1 ____ ( fc-D! 86
