Reimann József - Tóth Julianna: Valószínűségszámítás és matematikai statisztika (Tankönyvkiadó, Budapest, 1989)
I. rész. Valószínűségszámítás - 5. Nevezetes valószínűségeloszlások
A kapott sort két sor összegére bontjuk; az elsőnél még egyszerűsítünk, és mindkettőnél felhasználjuk az ex Maclaurin-sorát; vagyis i*-i 1=1 = Ae-A(Ae* + e*) = A(A+1). Xe A így d2(0 = x2+x~x2 = x. Tehát a Poisson-eloszlású valószínűségi változó szórásnégyzete és várható értéke megegyezik. A szórás: D(0 = fX. A Poisson-eloszlás paraméterét a gyakorlatban általában statisztikai úton kell becsülni. Mivel a paraméter az eloszlás várható értéke, ezért a várható érték becslését kell megadni (ez megegyezik a szórásnégyzet becsült értékével). A Poisson-eloszlás módusza a binomiális eloszlásnál alkalmazott gondolatmenettel kapható meg. Ha X egész szám, akkor az eloszlásnak két módusza van, md = X — 1 és md = X. Ha a X nem egész, akkor a módusz a A-ban foglalt legnagyobb egész szám; az eloszlás unimodális, és md = [X\. Ez azt jelenti, hogy a Poisson-eloszlású valószínűségi változó legnagyobb valószínűséggel a várható értékét (ha ez egész) vagy a várható értékéhez közeli - annál kisebb - értékét veszi fel. Bebizonyítható, hogy ha a binomiális eloszlásnál az n értékét minden határon túl növeljük, p-1 pedig csökkentjük úgy, hogy közben a várható érték állandó maradjon (azaz «->oo, p—>0 úgy, hogy np = állandó), akkor lim pk qri k ÍH£e-„ k\ Vagyis, ha np állandó, akkor a binomiális eloszlás határeseteként az a Poisson-eloszlás adódik, melynek paramétere a binomiális eloszlású valószínűségi változó várható értéke (A = np). Az előbbiek alapján a binomiális eloszlás tagjait, nagy « és kis p esetén, 87
