Reimann József - Tóth Julianna: Valószínűségszámítás és matematikai statisztika (Tankönyvkiadó, Budapest, 1989)

I. rész. Valószínűségszámítás - 4. A valószínűségi változó és jellemzői

vonatkozó feltételes várható értékét, akkor az így kapott valószínűségi változó várható értéke a £, várható értékével egyenlő. Ez lehetőséget ad az M(f) meghatározására.

A következő tétel felhasználásával a feltételes várható érték egy másik alkalmazására nyílik lehetőség.

Tétel. Ha a £ és rj valószínűségi változóknál D2(f) és az rj lehetséges y értékei esetén az M{f\rj = y) létezik, továbbá v(y) befutja az egyváltozós függvényeket, akkor az

M([Z-v(r,)]2)

várható érték abban az esetben minimális, ha az tj minden lehetséges értékére viy) = M(Z\rj=y).

A tételt nem bizonyítjuk. Az M(€\rj=y) az y függvénye. Ezt a függvényt a £~nek az rj-ra vonatkozó regressziójának nevezzük. (Az alkalmazást lásd a 12. fejezetben.)

4.3.2 A szórás

A) A szórás fogalma és kiszámítása

Tudjuk, hogy ha egy valószínűségi változóra vonatkozóan független kísérleteket végzünk, akkor a kísérleti eredmények a számtani középérték körül ingadoznak. Ebben a részben megadjuk azt a mennyiséget, amely a valószínűségi változónak a várható értéke körüli ingadozására jellemző.

Nézzük meg, hogy ennek az ingadozásnak a jellemzésére alkalmas-e a £ és az M(f) eltérésének várható értéke; vagyis az M(£— M(£)). A várható érték tulajdonságait felhasználva

M{Z-M{Q) = = 0;

ezért nem jellemzi az ingadozást. (Ez a várható érték „centrum” jelentéséből is sejthető volt.)

A tömegeloszlás esetén a súlypont körüli tömörülést (szóródást) a súlyponti tengelyekre vonatkozó másodrendű nyomaték vagy más szóval inercianyomaték jellemzi. A valószínűségi változónak a várható érték körüli ingadozását jellemző szám is másodrendű nyomatékből kapható (1. 4.3.3), ezt szórásnak nevezzük.

Definíció. Ha egy valószínűségi változó várható értéke létezik, akkor a valószínűségi változó és a várható értéke négyzetes eltérése - [£ — A/(£)]2 - várható értékének (ha létezik) négyzetgyökét szórásnak nevezzük; azaz a £ szórása

71