Reimann József - Tóth Julianna: Valószínűségszámítás és matematikai statisztika (Tankönyvkiadó, Budapest, 1989)

I. rész. Valószínűségszámítás - 4. A valószínűségi változó és jellemzői

A valószínűségi változónak a várható értéke körüli ingadozásáról - a szórás felhasználásával - a Csebisev-egyenlőtlenség ad tájékoztatást (1. majd 6.1).

A szórást ö(^)-vel (diszperzió = szórás) vagy er-val jelöljük. A definícióból a szórásnégyzet

a2 = D2(£> = M(K-M(Í)]2); vagy az M(£) = m jelölés bevezetésével

a2 = D2{£) = Af(K-m]2).

A következő tétel felhasználásával a szórást egyszerűbben is kiszámíthatjuk, mint a definíció alapján.

Tétel. A szórásnégyzet a valószínűségi változó négyzete várható értékének és a várható értéke négyzetének különbsége; azaz

D\0 = M(£2)-M2(£>.

Bizonyítás. Használjuk az M(£) = m jelölést. A szórásnégyzet a definíció alapján: £>2(£) = = M{Z2-2£,m + m2).

Ebből a várható érték tulajdonságait (a 4. és az 1., valamint a 2. tételt) felhasználva Z>2(£) = M(£2)- M(2qm) + m2 = M(£2)-2mM(£) + m2.

Az M(£) = m jelölés felhasználásával, összevonás után

D\0 = M{e)-m2 = M(Z2)-M2(Q.

A tételből következik (mivel D2(q) ^ 0), hogy egy valószínűségi változó négyzetének várható értéke nem lehet kisebb a várható értékének négyzeténél; azaz

M(£2)^M2(£).

A szórásnégyzetre vonatkozó tételből rendezéssel M(£2) = D2{Q + A/2(<f).

A tömegeloszlás analógiáját felhasználva a következőket mondhatjuk: - a £ valószínűségeloszlásának megfelelő x tengely menti tömegeloszlás esetén - a D2(q) megfelelője a súlyponton átmenő x tengelyre merőleges tengelyre vonatkozó másodrendű nyomaték (inercianyomaték); az M(£2)-é az origón átmenő, súlyponti tengellyel párhuzamos tengelyre vonatkozó másodrendű nyomaték; az M{£) megfelelője pedig e két tengely távolsága. Mivel az össztömeg egységnyi, ezért az M(£,2) = D2(<!;) +

72