Reimann József - Tóth Julianna: Valószínűségszámítás és matematikai statisztika (Tankönyvkiadó, Budapest, 1989)

I. rész. Valószínűségszámítás - 4. A valószínűségi változó és jellemzői

(az x = ai és y = bi által határolt síknegyed belső pontjain elhelyezkedő tömeg mérőszámát kétszer vontuk le, ezért H(ai; bi)-et még hozzá kellett adnunk).

Bizonyítás nélkül megemlítjük még a következőket: A H mindkét változójának monoton növekedő függvénye; továbbá

lim H = 1 és lim H = lim H = 0.

+ oo X-* — oo y-+ — oo

+ 00

A £ és tj együttes eloszlásfüggvényének ismeretében a ill. az rj eloszlásfüggvénye megkapható; mivel

Vx g R esetén lim H = P(f < x) = F(x),

y—* + oo

VyeR esetén lim FI = P(rj<y) = G(y).

X~> + 00

A valószínűségi változók függetlenségének definíciója szerint a £ és az rj valószínűségi változók függetlenek, ha

V(x,y)eR2 esetén P{é,<x,rj<y) = P{£,<x)P{g<y).

Ebből az eloszlásfüggvények definícióit felhasználva

V(x, y) e R2 esetén H(x, y) = F(x)G(y),

azaz két független valószínűségi változó együttes eloszlásfüggvénye a két valószínűségi változó eloszlásfüggvényének szorzata.

Definíció. A £i, £2, ..., valószínűségi változók együttes eloszlásfüggvényének nevezzük azt a függvényt, amely minden valós xi, x2, ..., x„ rendezett szám-«- eshez a {£1 <xi}, {<^2<x2}, ..., {<^„<xn} események együttes bekövetkezésének valószínűségét rendeli; azaz ha

(xi,x2,..., x„)gR", H(xi, x2, ..., x„) = P(£i<xu £2<x2, ...,{„<x„).

Az n darab valószínűségi változó együttes eloszlásfüggvénye n változós függvény. A £i, £2,..., <!;„ valószínűségi változók függetlenségének definíciója alapján, a független valószínűségi változók együttes eloszlásfüggvénye az egyes valószínűségi változók eloszlásfüggvényének szorzata; qzaz ha £i, <J2, ..., függetlenek, akkor

V(xj, x2, ..., x„) G R", H(xi, x2, ..., x„) = Fi(xi)F2(x2)...Fn(x„),

ahol Fi a £, eloszlásfüggvénye.

51