Reimann József - Tóth Julianna: Valószínűségszámítás és matematikai statisztika (Tankönyvkiadó, Budapest, 1989)
I. rész. Valószínűségszámítás - 4. A valószínűségi változó és jellemzői
C) A feltételes eloszlásfüggvény Az eloszlásfüggvény és a feltételes valószínűség fogalmának ismeretében a feltételes eloszlásfüggvény definíciója már kézenfekvő. Definíció. A £ valószínűségi változó pozitív valószínűségű B eseményre vonatkozó feltételes eloszlásfüggvényének nevezzük azt a függvényt, amely minden valós x értékhez hozzárendeli a {£ <x} esemény B-re vonatkozó feltételes valószínűségét, azaz VxeR esetén F(x\B) = P(£<x\B), ha P(B)>0. A feltételes valószínűség definícióját felhasználva F(x\B) P(Z<x, B) P{B) Alkalmazzuk a teljes valószínűség tételét (1. 3.3.2) az A — {£<*} eseményre, valamint a teljes eseményrendszert alkotó pozitív valószínűségű Bt, B2,..., B„ eseményekre! Ekkor azt kapjuk, hogy Ebből az eloszlásfüggvény és a feltételes eloszlásfüggvény definíciójának felhasználásával: VxeR esetén F(x) = £ F(x\Bi)P(Bi); i = 1 vagyis egy valószínűségi változónak valamely teljes eseményrendszert alkotó pozitív valószínűségű eseményekre vonatkozó feltételes eloszlásfüggvényeinek a feltétel valószínűségével súlyozott közepe a valószínűségi változó eloszlásfüggvényét adja. Tekintsünk most két valószínűségi változót, £-t és g-t, és legyen a feltétel az, hogy az rj valószínűségi változó egy y értéket vesz fel. Ha az {rj=y} esemény valószínűsége pozitív, akkor a definíció alapján értelmezett a £-nek az (?/=y}-ra vonatkozó feltételes eloszlásfüggvénye. Ha az y az rj egy lehetséges értéke, és az rj eloszlásfüggvénye az y helyen folytonos, akkor az {rj=y} esemény valószínűsége 0. Ilyen esetre a feltételes eloszlásfüggvény előző definíciója nem alkalmazható. Definíció. A í valószínűségi változónak az {i)=y} 0 valószínűségű eseményre vonatkozó feltételes eloszlásfüggvényének nevezzük azt a függvényt, amely minden valós x értékhez a következő határértéket rendeli:
